19. Применение производной к задачам оптимизации в геометрии
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
Найдите наибольший объем цилиндра, полная поверхность которого 
Обозначим радиус основания цилиндра за r, а его высоту за h. Тогда его полная поверхность равна 
откуда
). Объем цилиндра равен 
Осталось найти r, при котором значение этой функции наибольшее. Пусть
Заметим, что 
положительно при 
и отрицательно при 
Значит, функция 
возрастает при 
и убывает при 
Значит, ее наибольшее значение достигается при 
Имеем:
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Задание парного варианта: 2747
Пусть 
Найдите какое-либо отрицательное число t, для которого выполняется равенство 
Функция f(x) дифференцируема при всех значениях x. Ее производная
Составим равенство
и преобразуем обе его части, пользуясь формулой
где 
Тогда
Одно из решений этого уравнения имеет вид
Так как 
и 
то требуемое число 
Ответ:
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Задание парного варианта: 2819
Радиус сферы равен 3. В сферу вписана правильная четырёхугольная пирамида так, что все её вершины принадлежат сфере. Найдите наибольший возможный объём пирамиды.
Пусть S — вершина пирамиды, ABCD — ее основание, O — центр сферы, O1 — центр квадрата ABCD. Ясно, что S лежит на прямой OO1, причем так, что O лежит между O1 и S (если это не так, заменим S на второй конец этого же диаметра, высота пирамиды увеличится, значит, и объем тоже). Обозначим
тогда 
— высота пирамиды. Тогда из прямоугольного треугольника 
имеем
Значит, 
а сторона квадрата, меньшая диагонали в 
раз, равна 
Тогда объем пирамиды равен
Найдем теперь наибольшее значение функции 
Возьмем ее производную:
поэтому производная отрицательна при h > 4 и положительна при h < 4. Значит, сама функция (а с ней и объем) убывает при h > 4 и возрастает при h < 4, а наибольшее значение принимает в точке h = 4: 
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Задание парного варианта: 2210
В правильной четырехугольной пирамиде расстояние от основания высоты пирамиды до боковой грани равна a. При каком значении двугранного угла при ребре основания пирамиды боковая поверхность ее будет минимальная.
Введем обозначения. Пусть вершина пирамиды — точка S, вершины основания — точки A, B, C, D, точка O — центр основания, точка M — середина CD. Тогда
как медиана равнобедренного треугольника SCD и 
как проекция SM на плоскость основания. Следовательно, 
Тогда расстояние от O до грани SCD — высота OH прямоугольного треугольника SOM (она перпендикулярна SM по построению и перпендикулярна CD, поскольку лежит в плоскости SOM). Кроме того, двугранный угол при ребре CD равен углу SMO. Обозначим
тогда 
и 
Значит, площадь боковой поверхности пирамиды равна
Чтобы данное выражение было минимальным, нужно сделать знаменатель максимальным. Обозначим временно 
и рассмотрим функцию
Ее производная равна
что положительно при 
и отрицательно при 
Значит, функция возрастает при 
и убывает при 
Поэтому наибольшее ее значение (и наименьшее значение площади боковой поверхности) достигается при 
и, следовательно, 
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит квадрат ABCD. Известно, что прямая SD перпендикулярна плоскости ABC и что площадь треугольника SAC равна 
Какой должна быть длина стороны основания пирамиды, чтобы её объём был наибольшим?
Обозначим сторону квадрата за x, а высоту пирамиды — ребро SD — за y. Тогда объем пирамиды равен 
По теореме Пифагора для треугольникa SDA находим 
тогда и 
а 
Поскольку треугольник SAC равнобедренный, его высота SO является и его медианой, поэтому
Значит,
откуда
Осталось найти наибольшее значение подкоренного выражения. Для этого возьмем его производную:
что отрицательно при x > 2 и положительно при 
Значит, функция 
а с ней и 
возрастает при 
убывает при x > 2 (там, где определена) и принимает наибольшее значение при x = 2:
Ответ: x = 2.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Задание парного варианта: 2160
Пройти тестирование по этим заданиям
Наверх