Обо­зна­чим вер­ши­ну пи­ра­ми­ды за S, вер­ши­ны ос­но­ва­ния  — за ABCD, пусть O  — центр ос­но­ва­ния, M и N  — се­ре­ди­ны ребер AB и CD со­от­вет­ствен­но. Пусть далее   — вы­со­та пи­ра­ми­ды,   — ее сто­ро­на ос­но­ва­ния, тогда ее объем равен Рас­смот­рим се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью SMN. В нем будет рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник MSN, в ко­то­рый впи­са­на по­лу­окруж­ность ра­ди­у­са До­стро­им до сим­мет­рич­но­го тре­уголь­ни­ка MS₁N, тогда MSNS₁  — ромб с впи­сан­ной окруж­но­стью ра­ди­у­са центр ко­то­рой O  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей ромба.

С дру­гой сто­ро­ны, ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти можно по­счи­тать по фор­му­ле от­ку­да

зна­чит, от­ку­да

и объем пи­ра­ми­ды равен Не­об­хо­ди­мо найти наи­мень­шее зна­че­ние этой функ­ции. Возь­мем ее про­из­вод­ную:

Ясно, что при это вы­ра­же­ние от­ри­ца­тель­но (и функ­ция убы­ва­ет), а при это вы­ра­же­ние по­ло­жи­тель­но (и функ­ция воз­рас­та­ет). По­это­му наи­мень­шее зна­че­ние функ­ция при­ни­ма­ет при и, со­от­вет­ствен­но,

Ответ: 18.