Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2160
i

Мно­го­гран­ник ABCDA1B1C1D1  — пра­виль­ная четырёхуголь­ная приз­ма (ABCD и A1B1C1D1  — ос­но­ва­ния приз­мы). Из­вест­но, что пло­щадь четырёхуголь­ни­ка AD1C1B равна 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та . Какой долж­на быть сто­ро­на ос­но­ва­ния приз­мы, чтобы её объём был наи­боль­шим?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим сто­ро­ну квад­ра­та за x, а вы­со­ту приз­мы  — ребро DD1  — за y. Тогда объем приз­мы равен yx2. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра для тре­уголь­никa D1DA на­хо­дим

D_1A= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: D_1D в квад­ра­те плюс DA в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: y в квад­ра­те плюс x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та .

Че­ты­рех­уголь­ник AD1C1B тогда яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком со сто­ро­на­ми x и ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: y в квад­ра­те плюс x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та и пло­ща­дью x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: y в квад­ра­те плюс x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , от­ку­да

x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка y в квад­ра­те плюс x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =48 рав­но­силь­но x в квад­ра­те y в квад­ра­те плюс x в сте­пе­ни 4 =48 рав­но­силь­но y= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 48 минус x в сте­пе­ни 4 , зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби конец ар­гу­мен­та ,

V_ABCDA_1B_1C_1D_1=yx в квад­ра­те = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 48 минус x в сте­пе­ни 4 , зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби конец ар­гу­мен­та умно­жить на x в квад­ра­те = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 48x в квад­ра­те минус x в сте­пе­ни 6 конец ар­гу­мен­та .

Оста­лось найти наи­боль­шее зна­че­ние под­ко­рен­но­го вы­ра­же­ния. Для этого возь­мем его про­из­вод­ную:

левая круг­лая скоб­ка 48x в квад­ра­те минус x в сте­пе­ни 6 пра­вая круг­лая скоб­ка '=96x минус 6x в сте­пе­ни 5 =6x левая круг­лая скоб­ка 16 минус x в сте­пе­ни 4 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

что от­ри­ца­тель­но при x > 2 и по­ло­жи­тель­но при x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0;2 пра­вая круг­лая скоб­ка . Зна­чит, функ­ция 48x в квад­ра­те минус x в сте­пе­ни 6 , а с ней и ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 48x в квад­ра­те минус x в сте­пе­ни 6 конец ар­гу­мен­та , воз­рас­та­ет при x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0;2 пра­вая круг­лая скоб­ка , убы­ва­ет при x > 2 (там, где опре­де­ле­на) и при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние при x  =  2:

V_max= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 48 умно­жить на 4 минус 64 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 128 конец ар­гу­мен­та =8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Ответ: x  =  2.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2159

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1982 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Гео­мет­рия
?
Сложность: 9 из 10
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025