Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2747
i

Най­ди­те наи­мень­шую пол­ную по­верх­ность ци­лин­дра, объем ко­то­ро­го  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть H  — вы­со­та ци­лин­дра, а R  — ра­ди­ус его ос­но­ва­ния, тогда объем ци­лин­дра равен  Пи R в квад­ра­те H. По усло­вию  Пи R в квад­ра­те H= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , от­ку­да H= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3R в квад­ра­те конец дроби . Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра равна

2 Пи R в квад­ра­те плюс 2 Пи RH=2 Пи R в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3R конец дроби .

Пусть S левая круг­лая скоб­ка R пра­вая круг­лая скоб­ка =2 Пи R в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3R конец дроби , где R боль­ше 0. Имеем:

S' левая круг­лая скоб­ка R пра­вая круг­лая скоб­ка =4 Пи R минус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3R в квад­ра­те конец дроби ;

S' левая круг­лая скоб­ка R пра­вая круг­лая скоб­ка =0: 4 Пи R минус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3R в квад­ра­те конец дроби =0 рав­но­силь­но R= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

При R при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка : S' левая круг­лая скоб­ка R пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0, зна­чит, S левая круг­лая скоб­ка R пра­вая круг­лая скоб­ка стро­го убы­ва­ет. При R при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та конец дроби ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка : S' левая круг­лая скоб­ка R пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0, зна­чит, S левая круг­лая скоб­ка R пра­вая круг­лая скоб­ка стро­го воз­рас­та­ет.

Сле­до­ва­тель­но, в точке R= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та конец дроби функ­ция S левая круг­лая скоб­ка R пра­вая круг­лая скоб­ка при­ни­ма­ет свое наи­мень­шее зна­че­ние. По­лу­ча­ем:

S левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 35 конец ар­гу­мен­та конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = Пи ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ:  Пи ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2741

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1997 год, ра­бо­та 2, ва­ри­ант 2
? Классификатор: При­ме­не­ние про­из­вод­ной к ре­ше­нию задач
?
Сложность: 6 из 10