РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Каталог заданий.
6. Задачи с параметром

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word

№ 4495

При каких значениях параметра a число нуль является корнем уравнения $корень из: начало аргумента: a косинус 2x минус 3 синус 2x конец аргумента = косинус x?$ Для каждого такого значения a решите это уравнение.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 4501

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Физико-математические классы, РФ, 1998 год, вариант 2

Решение · Критерии · Помощь

№ 4520

Найдите наименьшее значение параметра b, при котором уравнение $2 синус x плюс 3 косинус x=b$ имеет решения, и для этого значения b решите неравенство $3 синус x плюс 2 косинус x больше b.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 4526

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Физико-математические классы, РФ, 2000 год, вариант 1

Решение · Критерии · Помощь

№ 4544

При каких значениях параметра a число 2 является точкой минимума функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка 2x минус a правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс a минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка ?$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 4550

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Физико-математические классы, РФ, 2002 год, вариант 1

Решение · Критерии · Помощь

№ 4509

Найдите все значения параметра a, при которых касательная к графику функции $y=x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус ax в квадрате плюс 3x плюс 1,$ проведенная в точке графика с абсциссой 1, имеет с этим графиком ровно одну общую точку.

Решение.

Функция $y=x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус ax в квадрате плюс 3x плюс 1,$ заданная многочленом, определена и дифференцируема на множестве $R .$

По условию задачи касательная и график функции должны иметь ровно одну общую точку, значит, этой точкой может быть только точка касания, следовательно, абсцисса точки касания $x_0 = 1.$

Составим уравнение касательной в виде $y = y_0 плюс y'_0 левая круглая скобка x минус x_0 правая круглая скобка ,$ где $y_0$ и $y'_0$   — значения функции и ее производной при x₀  =  1:

$y = x в степени 4 минус ax в кубе плюс 3x плюс 1,$
$y' = 4x в кубе минус 2ax плюс 3,$

$y_0 = 5 минус a;$
$y'_0 = 7 минус 2a.$

Уравнение касательной: $y = левая круглая скобка 7 минус 2a правая круглая скобка x плюс a минус 2.$

Равенство $x в степени 4 минус ax в квадрате плюс 3x плюс 1 = левая круглая скобка 7 минус 2a правая круглая скобка x плюс a минус 2$ или после преобразований, $x в степени 4 минус ax в квадрате плюс левая круглая скобка 2a минус 4 правая круглая скобка x плюс 3 минус a = 0$ определяет абсциссы общих точек графика функции и касательной к нему. По условию задачи это уравнение должно иметь одно действительное решение. Но так как рассматриваемое уравнение четвертой степени, это возможно лишь в двух случаях: либо когда уравнение имеет один действительный двукратный корень, либо  — один четырехкратный корень. Одно решение нам известно  — $x = 1.$ Значит, 1  — по меньшей мере  — двукратный корень, и, следовательно, многочлен в левой части уравнения делится на $левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате :$

$x в степени 4 минус ax в квадрате плюс левая круглая скобка 2a минус 4 правая круглая скобка x плюс 3 минус a = левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x плюс 3 минус a правая круглая скобка .$

Квадратный трехчлен $x в квадрате плюс 2x плюс 3 минус a,$ таким образом, должен иметь либо кратный корень, либо не иметь действительных корней. Эти условия выполняются, когда его дискриминант неположительное число, т. е. когда $D = 4 минус 4 левая круглая скобка 3 минус a правая круглая скобка меньше или равно 0,$ что возможно при $a меньше или равно 2.$ Но если $a = 2,$ трехчлен $x в квадрате плюс 2x плюс 1$ имеет кратный корень -1, что нарушает условие задачи.

Таким образом, график функции $y = x в степени 4 минус ax в квадрате плюс 3x плюс 1$ имеет с касательной к нему в точке с абсциссой 1 ровно одну общую точку при всех $a меньше 2.$

Ответ: $a меньше 2.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 4515

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Физико-математические классы, РФ, 1999 год, вариант 1

Решение · Критерии · Помощь

№ 4557

Найдите все отрицательные значения параметра a, для каждого из которых касательные к параболе $y= левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате ,$ проведенные через точку оси Oy с ординатой a, высекают на оси Ox отрезок длины 4.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 4563

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Физико-математические классы, РФ, 2003 год, вариант 1

Решение · Критерии · Помощь

Пройти тестирование по этим заданиям