Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4526

Найдите наибольшее значение параметра a, при котором уравнение  синус x плюс 4 косинус x=a имеет решения, и для этого значения a решите неравенство 4 синус x плюс косинус x меньше a.

Спрятать решение

Решение.

Поделим обе части уравнения на  корень из (1 в квадрате плюс 4 в квадрате ) = корень из (17) :

 дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из (17) конец дроби синус x плюс дробь: числитель: 4, знаменатель: корень из (17) конец дроби косинус x= дробь: числитель: a, знаменатель: корень из (17) конец дроби .

Пусть \varphi=\arccos дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из (17) конец дроби =\arcsin дробь: числитель: 4, знаменатель: корень из (17) конец дроби . Получаем

 косинус \varphi синус x плюс синус \varphi косинус x= дробь: числитель: a, знаменатель: корень из (17) конец дроби .

Поскольку  синус (x плюс \varphi) принимает все значения на отрезке [ минус 1;1], наибольшее возможное a будет равно  корень из (17) .

Теперь решим неравенство 4 синус x плюс косинус x меньше корень из (17) :

 дробь: числитель: 4, знаменатель: корень из (17) конец дроби синус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из (17) конец дроби косинус x меньше 1 равносильно синус \varphi синус x плюс косинус \varphi косинус x меньше 1 равносильно косинус (x минус \varphi) меньше 1 равносильно

 равносильно x принадлежит \cup_k принадлежит Z (\arccos дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из (17) конец дроби плюс 2 Пи k;\arccos дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из (17) конец дроби плюс 2 Пи плюс 2 Пи k).

 

Ответ: x принадлежит \cup_k принадлежит Z (\arccos дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из (17) конец дроби плюс 2 Пи k;\arccos дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из (17) конец дроби плюс 2 Пи плюс 2 Пи k).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4520

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Физико-математические классы, РФ, 2000 год, вариант 2
? Классификатор: Тригонометрические неравенства, Уравнения с параметром
?
Сложность: 8 из 10