Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4509

Найдите все значения параметра a, при которых касательная к графику функции y=x в степени (4) минус ax в квадрате плюс 3x плюс 1, проведенная в точке графика с абсциссой 1, имеет с этим графиком ровно одну общую точку.

Спрятать решение

Решение.

Функция y=x в степени (4) минус ax в квадрате плюс 3x плюс 1, заданная многочленом, определена и дифференцируема на множестве  R .

По условию задачи касательная и график функции должны иметь ровно одну общую точку, значит, этой точкой может быть только точка касания, следовательно, абсцисса точки касания x_0 = 1.

Составим уравнение касательной в виде y = y_0 плюс y'_0(x минус x_0), где y_0 и y'_0 — значения функции и ее производной при x0 = 1:

y = x в степени 4 минус ax в кубе плюс 3x плюс 1,
y' = 4x в кубе минус 2ax плюс 3,
y_0 = 5 минус a;
y'_0 = 7 минус 2a.

Уравнение касательной: y = (7 минус 2a)x плюс a минус 2.

Равенство x в степени 4 минус ax в квадрате плюс 3x плюс 1 = (7 минус 2a)x плюс a минус 2 или после преобразований, x в степени 4 минус ax в квадрате плюс (2a минус 4)x плюс 3 минус a = 0 определяет абсциссы общих точек графика функции и касательной к нему. По условию задачи это уравнение должно иметь одно действительное решение. Но так как рассматриваемое уравнение четвертой степени, это возможно лишь в двух случаях: либо когда уравнение имеет один действительный двукратный корень, либо — один четырехкратный корень. Одно решение нам известно — x = 1. Значит, 1 — по меньшей мере — двукратный корень, и, следовательно, многочлен в левой части уравнения делится на (x минус 1) в квадрате :

x в степени 4 минус ax в квадрате плюс (2a минус 4)x плюс 3 минус a = (x минус 1) в квадрате (x в квадрате плюс 2x плюс 3 минус a).

Квадратный трехчлен x в квадрате плюс 2x плюс 3 минус a, таким образом, должен иметь либо кратный корень, либо не иметь действительных корней. Эти условия выполняются, когда его дискриминант неположительное число, т. е. когда D = 4 минус 4(3 минус a) меньше или равно 0, что возможно при a меньше или равно 2. Но если a = 2, трехчлен x в квадрате плюс 2x плюс 1 имеет кратный корень -1, что нарушает условие задачи.

Таким образом, график функции y = x в степени 4 минус ax в квадрате плюс 3x плюс 1 имеет с касательной к нему в точке с абсциссой 1 ровно одну общую точку при всех a меньше 2.

 

Ответ: a меньше 2.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4515

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Физико-математические классы, РФ, 1999 год, вариант 1
? Классификатор: Касательная к графику функции
?
Сложность: 9 из 10