Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4550

При каких значениях параметра a число 5 является точкой минимума функции f(x)=(3x минус a) в степени (4) умножить на (x плюс a минус 2) в степени (6) ?

Спрятать решение

Решение.

Возьмем производную данной функции

f'(x)=((3x минус a) в степени 4 (x плюс a минус 2) в степени 6 )'=((3x минус a) в степени 4 )'(x плюс a минус 2) в степени 6 плюс (3x минус a) в степени 4 ((x плюс a минус 2) в степени 6 )'=
=4(3x минус a) в кубе умножить на (3x минус a)'(x плюс a минус 2) в степени 6 плюс (3x минус a) в степени 4 умножить на 6(x плюс a минус 2) в степени 5 умножить на (x плюс a минус 2)'=
= 4(3x минус a) в кубе умножить на 3(x плюс a минус 2) в степени 6 плюс (3x минус a) в степени 4 умножить на 6(x плюс a минус 2) в степени 5 умножить на 1=
=12(3x минус a) в кубе (x плюс a минус 2) в степени 6 плюс 6(3x минус a) в степени 4 (x плюс a минус 2) в степени 5 = 6(3x минус a) в кубе (x плюс a минус 2) в степени 5 (2(x плюс a минус 2) плюс 3x минус a)=
=6(3x минус a) в кубе (x плюс a минус 2) в степени 5 (2x плюс 2a минус 4 плюс 3x минус a)=6(3x минус a) в кубе (x плюс a минус 2) в степени 5 (5x плюс a минус 4).

Производная, следовательно, имеет корни x= дробь: числитель: a, знаменатель: 3 конец дроби , x=2 минус a и x= дробь: числитель: 4 минус a, знаменатель: 5 конец дроби . Одно из этих чисел должно совпадать с x=5 и при этом должно давать именно точку минимума. Проверим все три случая.

Если  дробь: числитель: a, знаменатель: 3 конец дроби =5, то есть a=15, получаем f'(x)=6(3x минус 15) в кубе (x плюс 13) в степени 5 (5x плюс 11), что положительно при x больше 5 и отрицательно при x принадлежит ( минус дробь: числитель: 11, знаменатель: 5 конец дроби ;5), поэтому x=5 действительно точка минимума.

Если 2 минус a=5, то есть a= минус 3, получаем f'(x)=6(3x плюс 3) в кубе (x минус 5) в степени 5 (5x минус 7), что положительно при x больше 5 и отрицательно при x принадлежит ( дробь: числитель: 7, знаменатель: 5 конец дроби ;5), поэтому x=5 действительно точка минимума.

Если  дробь: числитель: 4 минус a, знаменатель: 5 конец дроби =5, то есть a= минус 21, получаем f'(x)=6(3x плюс 21) в кубе (x минус 23) в степени 5 (5x минус 25), что положительно при x принадлежит ( минус 7;5) и отрицательно при x принадлежит (5;23), поэтому x=5 — точка максимума.

 

Ответ: a=15, a= минус 3.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4544

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Физико-математические классы, РФ, 2002 год, вариант 2
? Классификатор: Задачи с параметром
?
Сложность: 8 из 10