Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4501
i

При каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра a число x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби яв­ля­ет­ся кор­нем урав­не­ния  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 синус 2x минус a ко­си­нус 2x конец ар­гу­мен­та = минус синус x? Для каж­до­го та­ко­го зна­че­ния a ре­ши­те это урав­не­ние.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Так как число x = минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби по усло­вию яв­ля­ет­ся кор­нем урав­не­ния, то при под­ста­нов­ке по­лу­ча­ем вер­ное ра­вен­ство

 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 синус левая круг­лая скоб­ка минус Пи пра­вая круг­лая скоб­ка минус a ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка минус Пи пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та = минус синус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Сле­до­ва­тель­но,  ко­рень из a = 1, то есть a = 1.

При этом зна­че­нии a урав­не­ние имеет вид  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 синус 2x минус ко­си­нус 2x конец ар­гу­мен­та = минус синус x. Оно рав­но­силь­но си­сте­ме

 си­сте­ма вы­ра­же­ний синус x мень­ше или равно 0,2 синус 2x минус ко­си­нус 2x = синус в квад­ра­те x. конец си­сте­мы .

Решим три­го­но­мет­ри­че­ское урав­не­ние си­сте­мы, ис­поль­зуя фор­му­лу двой­но­го ар­гу­мен­та:

2 синус 2x минус ко­си­нус 2x = синус в квад­ра­те x рав­но­силь­но 4 синус x ко­си­нус x минус ко­си­нус в квад­ра­те x = 0 рав­но­силь­но ко­си­нус x левая круг­лая скоб­ка 4 синус x минус ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка = 0 рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус x = 0,4 синус x минус ко­си­нус x = 0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи n, n при­над­ле­жит Z ,x = \arcctg дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k, k при­над­ле­жит Z . конец со­во­куп­но­сти .

Учи­ты­вая усло­вие  синус x мень­ше или равно 0, окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем x = минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи n, n при­над­ле­жит Z ; x = \arcctg дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, k при­над­ле­жит Z .

 

Ответ: при a = 1; x = минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи n, n при­над­ле­жит Z , x = \arcctg дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, k при­над­ле­жит Z .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 4495

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Фи­зи­ко-ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1998 год, ва­ри­ант 2
? Классификатор: За­да­чи с па­ра­мет­ром, Урав­не­ния с па­ра­мет­ром
?
Сложность: 7 из 10