РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 4515

Найдите все значения параметра a, при которых касательная к графику функции $y=x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс ax в квадрате минус 2x минус 3,$ проведенная в точке графика с абсциссой −1, имеет с этим графиком ровно одну общую точку.

Спрятать решение

Решение.

По условию задачи график функции и касательная к нему имеют ровно одну общую точку  — точку касания с абсциссой $x_0 = минус 1.$

Составим уравнение касательной в виде

$y = y_0 плюс y'_0 левая круглая скобка x минус x_0 правая круглая скобка ,$

где $y_0 = a$ и $y'_0 = минус левая круглая скобка 2a плюс 6 правая круглая скобка$   — значения функции и ее производной при $x_0 = минус 1:$

$y = минус левая круглая скобка 2a плюс 6 правая круглая скобка x минус a минус 6.$

Тогда уравнение

$x в степени 4 плюс ax в квадрате минус 2x плюс 3 = минус левая круглая скобка 2a плюс 6 правая круглая скобка x минус a минус 6,$

или после преобразования

$x в степени 4 плюс ax в квадрате плюс левая круглая скобка 2a плюс 4 правая круглая скобка x плюс a плюс 3 = 0,$

имеет единственный действительный корень $x = минус 1.$

Так как рассматриваемое уравнение четвертой степени, то это может быть лишь в двух случаях: когда -1 имеет кратность два и других действительных корней нет, либо когда -1 имеет кратность 4. Таким образом, многочлен в левой части уравнения разлагается на множители:

$x в степени 4 плюс ax в квадрате плюс левая круглая скобка 2a плюс 4 правая круглая скобка x плюс a плюс 3 = левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс a плюс 3 правая круглая скобка .$

Дискриминант квадратного трехчлена $x в квадрате минус 2x плюс 3$   — неположительное число, если $a меньше или равно минус 2.$ Но при $a = минус 2$ кратный корень равен 1, что противоречит условию задачи.

Следовательно, график функции и касательная к нему имеют ровно одну общую точку при всех $a больше минус 2.$

Ответ: $a больше минус 2.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 4509

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Физико-математические классы, РФ, 1999 год, вариант 2

? Классификатор: Касательная к графику функции

Сложность: 9 из 10

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь