Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4557

Найдите все отрицательные значения параметра a, для каждого из которых касательные к параболе y=(x минус 1) в квадрате , проведенные через точку оси Oy с ординатой a, высекают на оси Ox отрезок длины 4.

Спрятать решение

Решение.

Касательные к параболе y=(x минус 1) в квадрате с абсциссой точки касания x_0 имеют вид y=2(x_0 минус 1)(x минус x_0) плюс (x_0 минус 1) в квадрате и пересекаются с осью абсцисс в точках (x_0 не равно 1)

x= минус дробь: числитель: (x_0 минус 1) в квадрате , знаменатель: 2(x_0 минус 1) конец дроби плюс x_0= дробь: числитель: x_0 плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби .

Тогда длина высекаемого на оси Ox отрезка, равная 4, есть

 дробь: числитель: x_ плюс плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: x_ минус плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: x_ плюс минус x_ минус , знаменатель: 2 конец дроби ,

где x_\pm  — положительная и отрицательная абсциссы точек касания. Определим их из условия y(0)=a:

a=2(x_0 минус 1)( минус x_0) плюс (x_0 минус 1) в квадрате равносильно совокупность выражений x_0= корень из (1 минус a) , x_0= минус корень из (1 минус a) . конец совокупности .

Решая уравнение  дробь: числитель: 2 корень из (1 минус a) , знаменатель: 2 конец дроби =4, получим ответ: a= минус 15.

 

Ответ: a= минус 15.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4563

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Физико-математические классы, РФ, 2003 год, вариант 1
? Классификатор: Задачи с параметром, Применение производной к решению задач
?
Сложность: 9 из 10