Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4563

Укажите координаты всех точек оси Oy, имеющих положительные ординаты и обладающих тем свойством, что касательные, проведенные через каждую из таких точек к графику функции y= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби , высекают на оси абсцисс отрезок длины  дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .

Спрятать решение

Решение.

Прямая y=kx плюс b является касательной к гиперболе тогда и только тогда, когда имеет с гиперболой одну общую точку и при этом не параллельна асимптоте (то есть не горизонтальна). Или иначе, уравнение kx плюс b= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби имеет ровно один корень. Преобразуем его:

 левая круглая скобка kx плюс b правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка = минус 1 равносильно kx в квадрате плюс bx плюс kx плюс b плюс 1=0 равносильно kx в квадрате плюс левая круглая скобка k плюс b правая круглая скобка x плюс левая круглая скобка b плюс 1 правая круглая скобка =0.

Значит, дискриминант этого уравнения равен нулю, то есть

 левая круглая скобка k плюс b правая круглая скобка в квадрате минус 4k левая круглая скобка b плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно k в квадрате плюс 2kb плюс b в квадрате минус 4kb минус 4k=0 равносильно k в квадрате минус левая круглая скобка 2b плюс 4 правая круглая скобка k плюс b в квадрате =0 равносильно
 равносильно k=b плюс 2\pm корень из левая круглая скобка b плюс 2 правая круглая скобка в квадрате минус b в квадрате =b плюс 2\pm корень из b в квадрате плюс 4b плюс 4 минус b в квадрате =b плюс 2\pm корень из 4b плюс 4=b плюс 2\pm 2 корень из b плюс 1.

Итак, уравнения касательных, проходящих через точку  левая круглая скобка 0;b правая круглая скобка имеют вид y= левая круглая скобка b плюс 2\pm 2 корень из b плюс 1 правая круглая скобка x плюс b.

Найдем теперь точки пересечения этих касательных с осью абсцисс, решив уравнение  левая круглая скобка b плюс 2\pm 2 корень из b плюс 1 правая круглая скобка x плюс b=0, откуда x= дробь: числитель: минус b, знаменатель: b плюс 2\pm 2 корень из b плюс 1 конец дроби . По условию, разность абсцисс точек пересечения равна  дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби . Составим уравнение

\abs дробь: числитель: минус b, знаменатель: b плюс 2 минус 2 корень из b плюс 1 конец дроби минус дробь: числитель: минус b, знаменатель: b плюс 2 плюс 2 корень из b плюс 1 конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби равносильно  \abs дробь: числитель: b, знаменатель: b плюс 2 плюс 2 корень из b плюс 1 конец дроби минус дробь: числитель: b, знаменатель: b плюс 2 минус 2 корень из b плюс 1 конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби равносильно
 равносильно \abs дробь: числитель: b левая круглая скобка b плюс 2 минус 2 корень из b плюс 1 правая круглая скобка минус b левая круглая скобка b плюс 2 плюс 2 корень из b плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка b плюс 2 плюс 2 корень из b плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка b плюс 2 минус 2 корень из b плюс 1 правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби равносильно  \abs дробь: числитель: b левая круглая скобка b плюс 2 минус 2 корень из b плюс 1 минус b минус 2 минус 2 корень из b плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка b плюс 2 правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка b плюс 1 правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби равносильно
 равносильно \abs дробь: числитель: b левая круглая скобка минус 4 корень из b плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: b в квадрате плюс 4b плюс 4 минус 4b минус 4 конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби равносильно  \absb дробь: числитель: 4 корень из b плюс 1, знаменатель: b в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби равносильно
 равносильно дробь: числитель: 4 корень из b плюс 1, знаменатель: b конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби равносильно  8 корень из b плюс 1=3b равносильно 64 левая круглая скобка b плюс 1 правая круглая скобка =9b в квадрате равносильно 9b в квадрате минус 64b минус 64=0 равносильно
 равносильно b= дробь: числитель: 32\pm корень из 32 в квадрате плюс 9 умножить на 64, знаменатель: 9 конец дроби = дробь: числитель: 32\pm корень из 1024 плюс 576, знаменатель: 9 конец дроби = дробь: числитель: 32\pm корень из 1600, знаменатель: 9 конец дроби = дробь: числитель: 32\pm 40, знаменатель: 9 конец дроби .

Поскольку b больше 0, получаем b= дробь: числитель: 32 плюс 40, знаменатель: 9 конец дроби = дробь: числитель: 72, знаменатель: 9 конец дроби =8.

 

Ответ:  левая круглая скобка 0;8 правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4557

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Физико-математические классы, РФ, 2003 год, вариант 2
? Классификатор: Касательная к графику функции
?
Сложность: 9 из 10