Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4563
i

Ука­жи­те ко­ор­ди­на­ты всех точек оси Oy, име­ю­щих по­ло­жи­тель­ные ор­ди­на­ты и об­ла­да­ю­щих тем свой­ством, что ка­са­тель­ные, про­ве­ден­ные через каж­дую из таких точек к гра­фи­ку функ­ции y= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x плюс 1 конец дроби , вы­се­ка­ют на оси абс­цисс от­ре­зок длины  дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пря­мая y=kx плюс b яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к ги­пер­бо­ле тогда и толь­ко тогда, когда имеет с ги­пер­бо­лой одну общую точку и при этом не па­рал­лель­на асимп­то­те (то есть не го­ри­зон­таль­на). Или иначе, урав­не­ние kx плюс b= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x плюс 1 конец дроби имеет ровно один ко­рень. Пре­об­ра­зу­ем его:

 левая круг­лая скоб­ка kx плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 1 рав­но­силь­но kx в квад­ра­те плюс bx плюс kx плюс b плюс 1=0 рав­но­силь­но kx в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка k плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс левая круг­лая скоб­ка b плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0.

Зна­чит, дис­кри­ми­нант этого урав­не­ния равен нулю, то есть

 левая круг­лая скоб­ка k плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 4k левая круг­лая скоб­ка b плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но k в квад­ра­те плюс 2kb плюс b в квад­ра­те минус 4kb минус 4k=0 рав­но­силь­но k в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка 2b плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка k плюс b в квад­ра­те =0 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но k=b плюс 2\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка b плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус b в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =b плюс 2\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b в квад­ра­те плюс 4b плюс 4 минус b в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =b плюс 2\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4b плюс 4 конец ар­гу­мен­та =b плюс 2\pm 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b плюс 1 конец ар­гу­мен­та .

Итак, урав­не­ния ка­са­тель­ных, про­хо­дя­щих через точку  левая круг­лая скоб­ка 0;b пра­вая круг­лая скоб­ка имеют вид y= левая круг­лая скоб­ка b плюс 2\pm 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b плюс 1 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс b.

Най­дем те­перь точки пе­ре­се­че­ния этих ка­са­тель­ных с осью абс­цисс, решив урав­не­ние  левая круг­лая скоб­ка b плюс 2\pm 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b плюс 1 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс b=0, от­ку­да x= дробь: чис­ли­тель: минус b, зна­ме­на­тель: b плюс 2\pm 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b плюс 1 конец ар­гу­мен­та конец дроби . По усло­вию, раз­ность абс­цисс точек пе­ре­се­че­ния равна  дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Со­ста­вим урав­не­ние

\abs дробь: чис­ли­тель: минус b, зна­ме­на­тель: b плюс 2 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b плюс 1 конец ар­гу­мен­та конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: минус b, зна­ме­на­тель: b плюс 2 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b плюс 1 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но  \abs дробь: чис­ли­тель: b, зна­ме­на­тель: b плюс 2 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b плюс 1 конец ар­гу­мен­та конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: b, зна­ме­на­тель: b плюс 2 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b плюс 1 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но \abs дробь: чис­ли­тель: b левая круг­лая скоб­ка b плюс 2 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b плюс 1 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка минус b левая круг­лая скоб­ка b плюс 2 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b плюс 1 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка b плюс 2 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b плюс 1 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка b плюс 2 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b плюс 1 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но  \abs дробь: чис­ли­тель: b левая круг­лая скоб­ка b плюс 2 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b плюс 1 конец ар­гу­мен­та минус b минус 2 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b плюс 1 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка b плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 4 левая круг­лая скоб­ка b плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но \abs дробь: чис­ли­тель: b левая круг­лая скоб­ка минус 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b плюс 1 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: b в квад­ра­те плюс 4b плюс 4 минус 4b минус 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но  \absb дробь: чис­ли­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b плюс 1 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: b в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b плюс 1 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: b конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но  8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b плюс 1 конец ар­гу­мен­та =3b рав­но­силь­но 64 левая круг­лая скоб­ка b плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =9b в квад­ра­те рав­но­силь­но 9b в квад­ра­те минус 64b минус 64=0 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но b= дробь: чис­ли­тель: 32\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 32 в квад­ра­те плюс 9 умно­жить на 64 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 32\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1024 плюс 576 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 32\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1600 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 32\pm 40, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби .

По­сколь­ку b боль­ше 0, по­лу­ча­ем b= дробь: чис­ли­тель: 32 плюс 40, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 72, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби =8.

 

Ответ:  левая круг­лая скоб­ка 0;8 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 4557

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Фи­зи­ко-ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 2003 год, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции
?
Сложность: 9 из 10