33. Параметры с комплексными числами
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
Определить действительные значения a, при которых сумма комплексных чисел 
и 
будет действительным числом.
Преобразуем сумму данных выражений:
Чтобы число было действительным, нужно чтобы 
то есть чтобы 
Ответ: при
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Найдите все действительные значения b, такие, что система неравенств 
имеет ровно одно решение на множестве комплексных чисел.
Первое условие задает круг радиуса b с центром в точке 
и радиусом 3, а второе — круг радиусом 
с центром в точке 
Эти круги могут иметь одну общую точку в двух случаях.
Первый случай: они касаются внешним образом, тогда расстояние между их центрами должно быть равно сумме радиусов, то есть
Возводя в квадрат, получим
Ясно, что отрицательное b не подходит (при нем нет никакого круга), а положительное подходит.
Второй случай: второй круг вырождается в точку (это возможно при 
тогда это точка 
и она действительно лежит в первом круге).
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Задание парного варианта: 2762
При каких значениях параметра a среди комплексных чисел z, таких, что 
найдется такое, что 
I способ. Очевидно, что при 
нет таких чисел z, для которых 
(модуль комплексного числа неотрицателен и не может быть меньше отрицательного числа). При a = 0 такое число одно: 
но 
(это нетрудно проверить). При 
таких чисел бесконечно много, они принадлежат замкнутому кругу на комплексной плоскости радиуса a с центром в точке (2; 2).
Все числа z, такие, что 
имеют аргумент 𝜑, для которого 
т. е. 
Они располагаются на прямых 
и 
Расстояние от центра (2; 2) до прямой y = 0 равно 2, до прямой 
а до прямой 
Таким образом, при 
круг не имеет ни с одной из указанных трех прямых общих точек (т. е. таких чисел z, для которых 
в круге нет).
При 
в круге существует единственная точка z, для которой — это точка касания соответствующей окружности и прямой 
При 
прямая 
имеет с кругом одну общую хорду, и, следовательно, существует более одного числа z, такого, что 
II способ. Пусть 
где x, y — действительные числа. Условие может быть выполнено лишь при 
и поэтому записывается в виде
Так как 
условие 
записывается в виде 
Это уравнение распадается на три:
для каждого из которых неравенство (1) принимает соответствующий вид:
(т. е. мы получили квадратные относительно x неравенства).
В случае (2), 
нетрудно видеть, что неравенство при 
не имеет решений; при a = 2 имеет единственное решение, а при 
более одного решения (бесконечно много решений).
Неравенство 
принимает следующий вид:
Поскольку 
то 
Отсюда следует, что при 
неравенство 
имеет единственное решение, а при — более одного решения (бесконечно много решений).
Неравенство 
приводим к виду:
Аналогично предыдущему получаем 
Отсюда следует, что при 
неравенство 
не имеет решений; при 
имеется единственное решение, а при 
— бесконечно много решений.
Обобщая исследования неравенств − и отметив, что 
получаем следующее:
— при 
совокупность − не имеет решений;
— при совокупность имеет единственное решение (это — единственное решение неравенства или );
— при совокупность − имеет бесконечное множество решений (так как неравенство имеет бесконечное множество решений).
Таким образом, при существует единственное комплексное число z, удовлетворяющее условиям задачи (при таких чисел нет, а при их бесконечно много).
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Задание парного варианта: 2607
Найдите все такие действительные значения параметра a, при которых существует ровно одно комплексное число z, действительная и мнимая части которого выражены целыми числами, удовлетворяющими одновременно двум условиям 
и 
Сразу заметим, что если z подходит в оба неравенства, то и 
подходит в оба неравенства. Поэтому если такое z единственно, то 
то есть z — вещественное число.
Геометрически эти условия означают, что z и находятся от точки 
на расстоянии меньшем a, то есть лежат внутри круга радиуса a с центром в точке 
Если 
то этот круг целиком содержится в первой четверти и не может содержать пару сопряженных точек или точку с горизонтальной оси.
При 
в круг попадает точка 
Ясно что при 
в круг не попадут никакие точки с целыми координатами из четвертой четверти (кроме лежащих на оси), поскольку расстояние от 
до прямой 
равно 4. С другой стороны, уже при 
в круг попадут точки 2 и 4, после чего условие единственности нарушится. При 
никакие целые точки кроме 
в круг не попадут (чем дальше точка на оси от 
тем больше у нее и расстояние до
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Задание парного варианта: 2859
Найдите все значения вещественного параметра t, при которых система 
имеет ровно три решения.
Решение. Заметим, что при 
система решений не имеет, а при 
имеет единственное решение 
Остается рассмотреть случай 
Пусть 
где 
— вещественные числа, тогда 
и из первого уравнения системы получаем 
откуда 
Подставляя 
во второе уравнение системы, имеем
При 
последнее уравнение равносильно уравнению
Это биквадратное уравнение, которое должно иметь ровно три решения. Это возможно только в том случае, когда один из его корней равен нулю. Подставляя 
и учитывая 
находим 
Подставляя теперь 
имеем:
Последнее уравнение имеет ровно три решения. Следовательно, при данная система имеет ровно три решения.
Ответ: 10.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Задание парного варианта: 3041
Пройти тестирование по этим заданиям
Наверх