Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3041

Найдите все значения вещественного параметра t, при которых система  система выражений 2i(z плюс \barz) в квадрате =z минус \barz, |z минус it|= дробь: числитель: t в кубе , знаменатель: 81 конец дроби конец системы . имеет ровно три решения.

Спрятать решение

Решение.

Пусть z=x плюс iy. Тогда первое уравнение системы примет вид

2i(x плюс iy плюс x минус iy) в квадрате =x плюс iy минус (x минус iy) равносильно 2i(2x) в квадрате =2iy равносильно 4x в квадрате =y.

Тогда второе уравнение превращается в такое

\absx плюс 4x в квадрате i минус it= дробь: числитель: t в кубе , знаменатель: 81 конец дроби равносильно x в квадрате плюс (4x в квадрате минус t) в квадрате = дробь: числитель: t в степени 6 , знаменатель: 81 в квадрате конец дроби .

Заметим, что если x является корнем этого уравнения, то  минус x тоже является его корнем, поэтому почти все корни разбиваются на пары. Единственный шанс получить нечетное количество корней возникает если один из этих корней равен нулю (и образует пару сам с собой). Подставим x=0

t в квадрате = дробь: числитель: t в степени 6 , знаменатель: 81 в квадрате конец дроби равносильно t в степени 6 =81 в квадрате t в квадрате равносильно t в квадрате (t в степени 4 минус 81 в квадрате )=0 равносильно t в квадрате (t в квадрате минус 81)(t в квадрате плюс 81)=0.

Отсюда t=0, t=9 или t= минус 9. Последний вариант невозможен, поскольку при нем получается что

\absx плюс 4x в квадрате i минус it= дробь: числитель: t в кубе , знаменатель: 81 конец дроби меньше 0.

При t=0 второе получаем \absz минус i умножить на 0=0, откуда z=0  — его единственное решение.

При t=9 получаем

x в квадрате плюс (4x в квадрате минус 9) в квадрате дробь: числитель: 9 в степени 6 , знаменатель: 81 в квадрате конец дроби равносильно x в квадрате плюс (4x в квадрате минус 9) в квадрате = дробь: числитель: 9 в степени 6 , знаменатель: 9 в степени 4 конец дроби равносильно x в квадрате плюс (4x в квадрате минус 9) в квадрате =9 в квадрате равносильно

 равносильно x в квадрате плюс 16x в степени 4 минус 72x в квадрате плюс 81=81 равносильно 16x в степени 4 минус 71x в квадрате =0 равносильно (16x в квадрате минус 71)x в квадрате =0.

Это уравнение действительно имеет три корня x=0 и x=\pm корень из ( дробь: числитель: 71, знаменатель: 16 конец дроби ) , поэтому исходная система действительно имеет три решения.

 

Ответ: 9.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 3018

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 2007 год, вариант 2
? Классификатор: Параметр в задачах с комплексными числами
?
Сложность: 10 из 10