№ 3041 

Выпускные экзамены по математике для школ России. Углубленная программа. 33. Параметры с комплексными числами
i
Найдите все значения вещественного параметра t, при которых система
имеет ровно три решения.
Спрятать решениеРешение. Пусть
Тогда первое уравнение системы примет вид

Тогда второе уравнение превращается в такое

Заметим, что если x является корнем этого уравнения, то
тоже является его корнем, поэтому почти все корни разбиваются на пары. Единственный шанс получить нечетное количество корней возникает если один из этих корней равен нулю (и образует пару сам с собой). Подставим 

Отсюда
или
Последний вариант невозможен, поскольку при нем получается что

При
второе получаем
откуда
— его единственное решение.
При
получаем



Это уравнение действительно имеет три корня
и
поэтому исходная система действительно имеет три решения.
Ответ: 9.
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: 9.
Задание парного варианта: 3018