Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3041
i

Най­ди­те все зна­че­ния ве­ще­ствен­но­го па­ра­мет­ра t, при ко­то­рых си­сте­ма  си­сте­ма вы­ра­же­ний 2i левая круг­лая скоб­ка z плюс \barz пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =z минус \barz, |z минус it|= дробь: чис­ли­тель: t в кубе , зна­ме­на­тель: 81 конец дроби конец си­сте­мы . имеет ровно три ре­ше­ния.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть z=x плюс iy. Тогда пер­вое урав­не­ние си­сте­мы при­мет вид

2i левая круг­лая скоб­ка x плюс iy плюс x минус iy пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =x плюс iy минус левая круг­лая скоб­ка x минус iy пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но 2i левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =2iy рав­но­силь­но 4x в квад­ра­те =y.

Тогда вто­рое урав­не­ние пре­вра­ща­ет­ся в такое

\absx плюс 4x в квад­ра­те i минус it= дробь: чис­ли­тель: t в кубе , зна­ме­на­тель: 81 конец дроби рав­но­силь­но x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 4x в квад­ра­те минус t пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: t в сте­пе­ни 6 , зна­ме­на­тель: 81 в квад­ра­те конец дроби .

За­ме­тим, что если x яв­ля­ет­ся кор­нем этого урав­не­ния, то  минус x тоже яв­ля­ет­ся его кор­нем, по­это­му почти все корни раз­би­ва­ют­ся на пары. Един­ствен­ный шанс по­лу­чить не­чет­ное ко­ли­че­ство кор­ней воз­ни­ка­ет если один из этих кор­ней равен нулю (и об­ра­зу­ет пару сам с собой). Под­ста­вим x=0

t в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: t в сте­пе­ни 6 , зна­ме­на­тель: 81 в квад­ра­те конец дроби рав­но­силь­но t в сте­пе­ни 6 =81 в квад­ра­те t в квад­ра­те рав­но­силь­но t в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка t в сте­пе­ни 4 минус 81 в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но t в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка t в квад­ра­те минус 81 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка t в квад­ра­те плюс 81 пра­вая круг­лая скоб­ка =0.

От­сю­да t=0, t=9 или t= минус 9. По­след­ний ва­ри­ант не­воз­мо­жен, по­сколь­ку при нем по­лу­ча­ет­ся что

\absx плюс 4x в квад­ра­те i минус it= дробь: чис­ли­тель: t в кубе , зна­ме­на­тель: 81 конец дроби мень­ше 0.

При t=0 вто­рое по­лу­ча­ем \absz минус i умно­жить на 0=0, от­ку­да z=0  — его един­ствен­ное ре­ше­ние.

При t=9 по­лу­ча­ем

x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 4x в квад­ра­те минус 9 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: 9 в сте­пе­ни 6 , зна­ме­на­тель: 81 в квад­ра­те конец дроби рав­но­силь­но x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 4x в квад­ра­те минус 9 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 9 в сте­пе­ни 6 , зна­ме­на­тель: 9 в сте­пе­ни 4 конец дроби рав­но­силь­но x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 4x в квад­ра­те минус 9 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =9 в квад­ра­те рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но x в квад­ра­те плюс 16x в сте­пе­ни 4 минус 72x в квад­ра­те плюс 81=81 рав­но­силь­но 16x в сте­пе­ни 4 минус 71x в квад­ра­те =0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка 16x в квад­ра­те минус 71 пра­вая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те =0.

Это урав­не­ние дей­стви­тель­но имеет три корня x=0 и x=\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 71, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби конец ар­гу­мен­та , по­это­му ис­ход­ная си­сте­ма дей­стви­тель­но имеет три ре­ше­ния.

 

Ответ: 9.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3018

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 2007 год, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Па­ра­метр в за­да­чах с ком­плекс­ны­ми чис­ла­ми
?
Сложность: 10 из 10