Найдите все такие действительные значения параметра a, при которых существует ровно одно комплексное число z, действительная и мнимая части которого выражены целыми числами, удовлетворяющими одновременно двум условиям и
Сразу заметим, что если z подходит в оба неравенства, то и подходит в оба неравенства. Поэтому если такое z единственно, то
то есть z — вещественное число.
Геометрически эти условия означают, что z и находятся от точки
на расстоянии меньшем a, то есть лежат внутри круга радиуса a с центром в точке
Если то этот круг целиком содержится в первой четверти и не может содержать пару сопряженных точек или точку с горизонтальной оси.
При в круг попадает точка
Ясно что при
в круг не попадут никакие точки с целыми координатами из четвертой четверти (кроме лежащих на оси), поскольку расстояние от
до прямой
равно 4. С другой стороны, уже при
в круг попадут точки 2 и 4, после чего условие единственности нарушится. При
никакие целые точки кроме
в круг не попадут (чем дальше точка на оси от
тем больше у нее и расстояние до
Ответ:
Задание парного варианта: 2859

