Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2853
i

Най­ди­те все такие дей­стви­тель­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых су­ще­ству­ет ровно одно ком­плекс­ное число z, дей­стви­тель­ная и мни­мая части ко­то­ро­го вы­ра­же­ны це­лы­ми чис­ла­ми, удо­вле­тво­ря­ю­щи­ми од­но­вре­мен­но двум усло­ви­ям |z минус 4 минус 3i| мень­ше a и |\barz минус 4 минус 3i| мень­ше a.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Сразу за­ме­тим, что если z под­хо­дит в оба не­ра­вен­ства, то и \overlinez под­хо­дит в оба не­ра­вен­ства. По­это­му если такое z един­ствен­но, то z=\overlinez, то есть z  — ве­ще­ствен­ное число.

Гео­мет­ри­че­ски эти усло­вия озна­ча­ют, что z и \overlinez на­хо­дят­ся от точки 4 плюс 3i на рас­сто­я­нии мень­шем a, то есть лежат внут­ри круга ра­ди­у­са a с цен­тром в точке  левая круг­лая скоб­ка 4;3 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Если a мень­ше 3, то этот круг це­ли­ком со­дер­жит­ся в пер­вой чет­вер­ти и не может со­дер­жать пару со­пря­жен­ных точек или точку с го­ри­зон­таль­ной оси.

При a боль­ше или равно 3 в круг по­па­да­ет точка z=4. Ясно что при a мень­ше 4 в круг не по­па­дут ни­ка­кие точки с це­лы­ми ко­ор­ди­на­та­ми из чет­вер­той чет­вер­ти (кроме ле­жа­щих на оси), по­сколь­ку рас­сто­я­ние от  левая круг­лая скоб­ка 4;3 пра­вая круг­лая скоб­ка до пря­мой y= минус 1 равно 4. С дру­гой сто­ро­ны, уже при a= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та в круг по­па­дут точки 2 и 4, после чего усло­вие един­ствен­но­сти на­ру­шит­ся. При a мень­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та ни­ка­кие целые точки кроме  левая круг­лая скоб­ка 4;0 пра­вая круг­лая скоб­ка в круг не по­па­дут (чем даль­ше точка на оси от  левая круг­лая скоб­ка 4;0 пра­вая круг­лая скоб­ка , тем боль­ше у нее и рас­сто­я­ние до  левая круг­лая скоб­ка 4;3 пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ:  левая квад­рат­ная скоб­ка 3; ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2859

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 2000 год, ра­бо­та 2, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Па­ра­метр в за­да­чах с ком­плекс­ны­ми чис­ла­ми
?
Сложность: 10 из 10