Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2756
i

Най­ди­те все дей­стви­тель­ные зна­че­ния b, такие, что си­сте­ма не­ра­венств  си­сте­ма вы­ра­же­ний |z плюс i| мень­ше или равно 3, |z плюс 3b| мень­ше или равно 2b конец си­сте­мы . имеет ровно одно ре­ше­ние на мно­же­стве ком­плекс­ных чисел.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пер­вое усло­вие за­да­ет круг ра­ди­у­са b с цен­тром в точке  минус i и ра­ди­у­сом 3, а вто­рое  — круг ра­ди­у­сом 2b с цен­тром в точке  минус 3b. Эти круги могут иметь одну общую точку в двух слу­ча­ях.

Пер­вый слу­чай: они ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом, тогда рас­сто­я­ние между их цен­тра­ми долж­но быть равно сумме ра­ди­у­сов, то есть

\abs минус 3b плюс i=3b\Rightarrow ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9b в квад­ра­те плюс 1 конец ар­гу­мен­та =2b плюс 3.

Воз­во­дя в квад­рат, по­лу­чим

9b в квад­ра­те плюс 1=4b в квад­ра­те плюс 12b плюс 9 рав­но­силь­но 5b в квад­ра­те минус 12b минус 8=0 рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но b= дробь: чис­ли­тель: 12\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 144 плюс 4 умно­жить на 40 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 12\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 304 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 12\pm 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 19 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 6\pm 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 19 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Ясно, что от­ри­ца­тель­ное b не под­хо­дит (при нем нет ни­ка­ко­го круга), а по­ло­жи­тель­ное под­хо­дит.

Вто­рой слу­чай: вто­рой круг вы­рож­да­ет­ся в точку (это воз­мож­но при b=0, тогда это точка z=0 и она дей­стви­тель­но лежит в пер­вом круге).

 

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 6 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 19 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2762

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1997 год, ра­бо­та 3, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Па­ра­метр в за­да­чах с ком­плекс­ны­ми чис­ла­ми
?
Сложность: 9 из 10