I спо­соб. Оче­вид­но, что при нет таких чисел z, для ко­то­рых (мо­дуль ком­плекс­но­го числа не­от­ри­ца­те­лен и не может быть мень­ше от­ри­ца­тель­но­го числа). При a  =  0 такое число одно: но (это не­труд­но про­ве­рить). При таких чисел бес­ко­неч­но много, они при­над­ле­жат за­мкну­то­му кругу на ком­плекс­ной плос­ко­сти ра­ди­у­са a с цен­тром в точке (2; 2).

Все числа z, такие, что имеют ар­гу­мент 𝜑, для ко­то­ро­го т. е. Они рас­по­ла­га­ют­ся на пря­мых и

Рас­сто­я­ние от цен­тра (2; 2) до пря­мой y  =  0 равно 2, до пря­мой

а до пря­мой

Таким об­ра­зом, при круг не имеет ни с одной из ука­зан­ных трех пря­мых общих точек (т. е. таких чисел z, для ко­то­рых в круге нет).

При в круге су­ще­ству­ет един­ствен­ная точка z, для ко­то­рой   — это точка ка­са­ния со­от­вет­ству­ю­щей окруж­но­сти и пря­мой

При пря­мая имеет с кру­гом одну общую хорду, и, сле­до­ва­тель­но, су­ще­ству­ет более од­но­го числа z, та­ко­го, что

II спо­соб. Пусть где x, y  — дей­стви­тель­ные числа. Усло­вие может быть вы­пол­не­но лишь при и по­это­му за­пи­сы­ва­ет­ся в виде

Так как усло­вие за­пи­сы­ва­ет­ся в виде Это урав­не­ние рас­па­да­ет­ся на три:

для каж­до­го из ко­то­рых не­ра­вен­ство (1) при­ни­ма­ет со­от­вет­ству­ю­щий вид:

(т. е. мы по­лу­чи­ли квад­рат­ные от­но­си­тель­но x не­ра­вен­ства).

В слу­чае (2), не­труд­но ви­деть, что не­ра­вен­ство при не имеет ре­ше­ний; при a  =  2 имеет един­ствен­ное ре­ше­ние, а при более од­но­го ре­ше­ния (бес­ко­неч­но много ре­ше­ний).

Не­ра­вен­ство при­ни­ма­ет сле­ду­ю­щий вид:

По­сколь­ку то От­сю­да сле­ду­ет, что при не­ра­вен­ство имеет един­ствен­ное ре­ше­ние, а при   — более од­но­го ре­ше­ния (бес­ко­неч­но много ре­ше­ний).

Не­ра­вен­ство при­во­дим к виду:

Ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му по­лу­ча­ем От­сю­да сле­ду­ет, что при не­ра­вен­ство не имеет ре­ше­ний; при име­ет­ся един­ствен­ное ре­ше­ние, а при   — бес­ко­неч­но много ре­ше­ний.

Обоб­щая ис­сле­до­ва­ния не­ра­венств − и от­ме­тив, что по­лу­ча­ем сле­ду­ю­щее:

— при со­во­куп­ность − не имеет ре­ше­ний;

— при со­во­куп­ность имеет един­ствен­ное ре­ше­ние (это  — един­ствен­ное ре­ше­ние не­ра­вен­ства или );

— при со­во­куп­ность − имеет бес­ко­неч­ное мно­же­ство ре­ше­ний (так как не­ра­вен­ство имеет бес­ко­неч­ное мно­же­ство ре­ше­ний).

Таким об­ра­зом, при су­ще­ству­ет един­ствен­ное ком­плекс­ное число z, удо­вле­тво­ря­ю­щее усло­ви­ям за­да­чи (при таких чисел нет, а при их бес­ко­неч­но много).

Ответ: