Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2601

При каких значениях параметра a среди комплексных чисел z, таких, что |z минус 2 минус 2i| меньше или равно a, найдется такое, что z в кубе принадлежит R ?

Спрятать решение

Решение.

I способ. Очевидно, что при a меньше 0 нет таких чисел z, для которых |z минус 2 минус 2i| меньше или равно a (модуль комплексного числа неотрицателен и не может быть меньше отрицательного числа). При a = 0 такое число одно: z = 2 плюс 2i, но z в кубе \not принадлежит R (это нетрудно проверить). При a больше 0 таких чисел бесконечно много, они принадлежат замкнутому кругу на комплексной плоскости радиуса a с центром в точке (2; 2).

Все числа z, такие, что z в кубе принадлежит R , имеют аргумент 𝜑, для которого 3\varphi = Пи k, k принадлежит Z , т. е. \varphi = дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 3 конец дроби . Они располагаются на прямых y = 0, y = корень из 3 x и y = минус корень из 3 x.

Расстояние от центра (2; 2) до прямой y = 0 равно 2, до прямой y минус корень из 3 x = 0

\rho = дробь: числитель: |2 минус 2 корень из 3 |, знаменатель: 2 конец дроби = корень из 3 минус 1,

а до прямой y плюс корень из 3 x = 0 \rho = корень из 3 плюс 1.

Таким образом, при a меньше корень из 3 минус 1 круг не имеет ни с одной из указанных трех прямых общих точек (т. е. таких чисел z, для которых z в кубе принадлежит R , в круге нет).

При a = корень из 3 минус 1 в круге существует единственная точка z, для которой z в кубе принадлежит R ,  — это точка касания соответствующей окружности и прямой y = корень из 3 x.

При a больше корень из 3 минус 1 прямая y = корень из 3 x имеет с кругом одну общую хорду, и, следовательно, существует более одного числа z, такого, что z в кубе принадлежит R .

 

II способ. Пусть z = x плюс iy, где x, y — действительные числа. Условие |z минус 2 минус 2i| меньше или равно a может быть выполнено лишь при a больше или равно 0 и поэтому записывается в виде

(x минус 2) в квадрате плюс (y минус 2) в квадрате меньше или равно a в квадрате . \qquad (1)

Так как z в кубе = (x в кубе минус 3xy в квадрате ) плюс i(3x в квадрате y минус y в кубе ), условие z в кубе принадлежит R записывается в виде y(3x в квадрате минус y в квадрате ) = 0. Это уравнение распадается на три:

 система выражений y = 0, \qquad (2)y = x корень из 3 , \qquad (3) y = минус x корень из 3 , \qquad (4) конец системы .

для каждого из которых неравенство (1) принимает соответствующий вид:

 совокупность выражений (x минус 2) в квадрате меньше или равно a в квадрате минус 4, \qquad (2')(x минус 2) в квадрате плюс (x корень из 3 минус 2) в квадрате меньше или равно a в квадрате , \qquad (3') (x минус 2) в квадрате плюс (x корень из 3 плюс 2) в квадрате меньше или равно a в квадрате , \qquad (4') конец совокупности .

(т. е. мы получили квадратные относительно x неравенства).

В случае (2), (2') нетрудно видеть, что неравенство (2') при 0 меньше или равно a меньше 2 не имеет решений; при a = 2 имеет единственное решение, а при a больше 2 более одного решения (бесконечно много решений).

Неравенство (3') принимает следующий вид:

4x в квадрате минус 4x( корень из 3 плюс 1) плюс 8 минус a в квадрате меньше или равно 0, \qquad (3'')

 дробь: числитель: D, знаменатель: 4 конец дроби = 4( корень из 3 плюс 1) в квадрате минус 4(8 минус a в квадрате ) = 4 левая круглая скобка 4 плюс 2 корень из 3 минус 8 плюс a в квадрате правая круглая скобка = 4(a в квадрате минус 4 плюс 2 корень из 3 ) =

= 4(a в квадрате минус ( корень из 3 минус 1) в квадрате ) = 4(a минус корень из 3 плюс 1)(a плюс корень из 3 минус 1).

Поскольку a больше или равно 0, то a плюс корень из 3 минус 1 больше 0. Отсюда следует, что при 0 меньше или равно a меньше корень из 3 минус 1 неравенство (3'') имеет единственное решение, а при a больше корень из 3 минус 1 — более одного решения (бесконечно много решений).

Неравенство (4') приводим к виду:

4x в квадрате минус 4x(1 минус корень из 3 ) плюс 8 минус a в квадрате меньше или равно 0. \qquad (4'')

Аналогично предыдущему получаем  дробь: числитель: D, знаменатель: 4 конец дроби = 4 (a минус корень из 3 минус 1)(a плюс корень из 3 плюс 1). Отсюда следует, что при 0 меньше или равно a меньше корень из 3 плюс 1 неравенство (4'') не имеет решений; при a = корень из 3 плюс 1 имеется единственное решение, а при a больше корень из 3 плюс 1 — бесконечно много решений.

Обобщая исследования неравенств (2')(4') и отметив, что  корень из 3 минус 1 меньше 2 меньше корень из 3 плюс 1, получаем следующее:

— при 0 меньше или равно a меньше корень из 3 минус 1 совокупность (2')(4') не имеет решений;

— при a = корень из 3 минус 1 совокупность имеет единственное решение (это — единственное решение неравенства (3'') или (3'));

— при a больше корень из 3 минус 1 совокупность (2')(4') имеет бесконечное множество решений (так как неравенство (3') имеет бесконечное множество решений).

Таким образом, при a = корень из 3 минус 1 существует единственное комплексное число z, удовлетворяющее условиям задачи (при 0 меньше или равно a меньше корень из 3 минус 1 таких чисел нет, а при a больше корень из 3 минус 1 их бесконечно много).

 

Ответ: \ корень из (3) минус 1\.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2607

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1994 год, работа 1, вариант 1
? Классификатор: Параметр в задачах с комплексными числами
?
Сложность: 10 из 10