При каких значениях параметра a среди комплексных чисел z, таких, что 
найдется такое, что 
I способ. Очевидно, что при 
нет таких чисел z, для которых 
(модуль комплексного числа неотрицателен и не может быть меньше отрицательного числа). При a = 0 такое число одно: 
но 
(это нетрудно проверить). При 
таких чисел бесконечно много, они принадлежат замкнутому кругу на комплексной плоскости радиуса a с центром в точке (2; 2).
Все числа z, такие, что 
имеют аргумент 𝜑, для которого 
т. е. 
Они располагаются на прямых 
и 
Расстояние от центра (2; 2) до прямой y = 0 равно 2, до прямой 
а до прямой 
Таким образом, при 
круг не имеет ни с одной из указанных трех прямых общих точек (т. е. таких чисел z, для которых 
в круге нет).
При 
в круге существует единственная точка z, для которой — это точка касания соответствующей окружности и прямой 
При 
прямая 
имеет с кругом одну общую хорду, и, следовательно, существует более одного числа z, такого, что 
II способ. Пусть 
где x, y — действительные числа. Условие может быть выполнено лишь при 
и поэтому записывается в виде
Так как 
условие 
записывается в виде 
Это уравнение распадается на три:
для каждого из которых неравенство (1) принимает соответствующий вид:
(т. е. мы получили квадратные относительно x неравенства).
В случае (2), 
нетрудно видеть, что неравенство при 
не имеет решений; при a = 2 имеет единственное решение, а при 
более одного решения (бесконечно много решений).
Неравенство 
принимает следующий вид:
Поскольку 
то 
Отсюда следует, что при 
неравенство 
имеет единственное решение, а при — более одного решения (бесконечно много решений).
Неравенство 
приводим к виду:
Аналогично предыдущему получаем 
Отсюда следует, что при 
неравенство 
не имеет решений; при 
имеется единственное решение, а при 
— бесконечно много решений.
Обобщая исследования неравенств − и отметив, что 
получаем следующее:
— при 
совокупность − не имеет решений;
— при совокупность имеет единственное решение (это — единственное решение неравенства или );
— при совокупность − имеет бесконечное множество решений (так как неравенство имеет бесконечное множество решений).
Таким образом, при существует единственное комплексное число z, удовлетворяющее условиям задачи (при таких чисел нет, а при их бесконечно много).
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Задание парного варианта: 2607