Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2762
i

Най­ди­те все дей­стви­тель­ные зна­че­ния b, такие, что си­сте­ма не­ра­венств си­сте­ма вы­ра­же­ний |z минус i| мень­ше или равно 2, |z минус 4b| мень­ше или равно минус 3b конец си­сте­мы . имеет ровно одно ре­ше­ние на мно­же­стве ком­плекс­ных чисел.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Если b=0, то ис­ход­ная си­сте­ма имеет ровно одно ре­ше­ния z=0.

При b боль­ше 0 ис­ход­ная си­сте­ма, оче­вид­но, ре­ше­ний не имеет.

Рас­смот­рим слу­чай b мень­ше 0.

Мно­же­ством точек ком­плекс­ной плос­ко­сти, со­от­вет­ству­ю­щих ре­ше­ни­ям пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы, яв­ля­ет­ся круг с цен­тром в точке левая круг­лая скоб­ка 0;1 пра­вая круг­лая скоб­ка и ра­ди­у­сом 2.

Мно­же­ством точек ком­плекс­ной плос­ко­сти, со­от­вет­ству­ю­щих ре­ше­ни­ям вто­ро­го не­ра­вен­ства си­сте­мы, яв­ля­ет­ся круг с цен­тром в точке левая круг­лая скоб­ка 4b;0 пра­вая круг­лая скоб­ка и ра­ди­у­сом минус 3b, где b мень­ше 0. Этот круг все­гда лежит в левой от­но­си­тель­но ор­ди­нат по­лу­плос­ко­сти.

Для того чтобы дан­ная си­сте­ма имела един­ствен­ное ре­ше­ние, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы со­от­вет­ству­ю­щие окруж­но­сти ка­са­лись внеш­ним об­ра­зом (рис. 14), то есть |AC| плюс |BC|=|AB|. Имеем |AB| в квад­ра­те =16b в квад­ра­те плюс 1. Тогда

16b в квад­ра­те плюс 1= левая круг­лая скоб­ка минус 3b плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те рав­но­силь­но 7b в квад­ра­те плюс 12b минус 3=0 рав­но­силь­но b= дробь: чис­ли­тель: минус 6 \pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 57 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби ,

но так как b мень­ше 0, то b= дробь: чис­ли­тель: минус 6 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 57 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби .

 

Ответ: левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: минус 6 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 57 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби ;0 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2756

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1997 год, ра­бо­та 3, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Па­ра­метр в за­да­чах с ком­плекс­ны­ми чис­ла­ми
?
Сложность: 9 из 10
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025