№ 2607 

Выпускные экзамены по математике для школ России. Углубленная программа. 33. Параметры с комплексными числами
i
При каких значениях параметра p среди комплексных чисел z, таких, что
найдется такое, что 
Спрятать решениеРешение. Числа z, такие, что
существуют лишь при
На комплексной плоскости это либо точка
при p = 0, либо замкнутый круг радиуса p с центром в точке 
Комплексные числа z, такие, что
имеют аргумент 𝜑, для которого
т. е.
Таким образом, эти комплексные числа располагаются на четырех прямых:

Точка
не лежит ни на одной из этих прямых (см. рис.). Ближайшая к ней прямая либо x = 0 (с расстоянием MP = 1), либо
расстояние до которой
(так как
),
(прямая
), отсюда 


Нетрудно показать, что
Отсюда следует, что MQ < MP и прямая
— ближайшая из данных четырех прямых. (Ясно, что рисунок не может, вообще говоря, служить доказательством).
Следовательно, при
чисел z, удовлетворяющих условиям задачи, нет. При
такое число одно (ему соответствует точка Q). При
таких чисел бесконечно много, так как среди них есть, по крайней мере, все, лежащие на некотором отрезке прямой
(на хорде круга).
Ответ: 
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: 
Задание парного варианта: 2601