Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2607
i

При каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра p среди ком­плекс­ных чисел z, таких, что |z минус 1 плюс i ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та | мень­ше или равно p, най­дет­ся такое, что z в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка при­над­ле­жит R ?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Числа z, такие, что |z минус 1 плюс i ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та | мень­ше или равно p су­ще­ству­ют лишь при p боль­ше или равно 0. На ком­плекс­ной плос­ко­сти это либо точка z = 1 минус i ко­рень из 3 при p  =  0, либо за­мкну­тый круг ра­ди­у­са p с цен­тром в точке M левая круг­лая скоб­ка 1; минус ко­рень из 3 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Ком­плекс­ные числа z, такие, что z в сте­пе­ни 4 при­над­ле­жит R , имеют ар­гу­мент 𝜑, для ко­то­ро­го 4 \varphi минус Пи k, k при­над­ле­жит Z , т. е. \varphi = дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . Таким об­ра­зом, эти ком­плекс­ные числа рас­по­ла­га­ют­ся на че­ты­рех пря­мых:

k = 0,  y = 0;  k = 1,  y = x;  k = 2,  x = 0;  k = 3,  y = минус x.

Точка  левая круг­лая скоб­ка 1; минус ко­рень из 3 пра­вая круг­лая скоб­ка не лежит ни на одной из этих пря­мых (см. рис.). Бли­жай­шая к ней пря­мая либо x  =  0 (с рас­сто­я­ни­ем MP  =  1), либо y = минус x, рас­сто­я­ние до ко­то­рой MQ = OM умно­жить на синус \angle MOQ, \angle MOE = 60 гра­ду­сов (так как  дробь: чис­ли­тель: ME, зна­ме­на­тель: OE конец дроби = ко­рень из 3 ), \angle QOE = 45 гра­ду­сов (пря­мая y = минус x), от­сю­да \angle MOQ = 60 гра­ду­сов минус 45 гра­ду­сов = 15 гра­ду­сов.

MO = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс 3 конец ар­гу­мен­та = 2, MQ = 2 синус 15 гра­ду­сов = 2 синус левая круг­лая скоб­ка 45 гра­ду­сов минус 30 гра­ду­сов пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 6 минус ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Не­труд­но по­ка­зать, что  дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 6 минус ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше 1. От­сю­да сле­ду­ет, что MQ < MP и пря­мая y = минус x  — бли­жай­шая из дан­ных че­ты­рех пря­мых. (Ясно, что ри­су­нок не может, во­об­ще го­во­ря, слу­жить до­ка­за­тель­ством).

Сле­до­ва­тель­но, при p мень­ше дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 6 минус ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби чисел z, удо­вле­тво­ря­ю­щих усло­ви­ям за­да­чи, нет. При p = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 6 минус ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби такое число одно (ему со­от­вет­ству­ет точка Q). При p боль­ше дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 6 минус ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби таких чисел бес­ко­неч­но много, так как среди них есть, по край­ней мере, все, ле­жа­щие на не­ко­то­ром от­рез­ке пря­мой y = минус x (на хорде круга).

 

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2601

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1994 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Па­ра­метр в за­да­чах с ком­плекс­ны­ми чис­ла­ми
?
Сложность: 10 из 10