РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 2859

Решение.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Найдите все такие действительные значения параметра a, при которых существует ровно одно комплексное число z, действительная и мнимая части которого выражены целыми числами, удовлетворяющими одновременно двум условиям $|z минус 4 минус 3i| меньше a$ и $|\barz минус 4 минус 3i| меньше a.$

Сразу заметим, что если z подходит в оба неравенства, то и $\overlinez$ подходит в оба неравенства. Поэтому если такое z единственно, то $z=\overlinez,$ то есть z  — вещественное число.

Геометрически эти условия означают, что z и $\overlinez$ находятся от точки $4 плюс 3i$ на расстоянии меньшем a, то есть лежат внутри круга радиуса a с центром в точке $левая круглая скобка 4;3 правая круглая скобка .$

Если $a меньше 3,$ то этот круг целиком содержится в первой четверти и не может содержать пару сопряженных точек или точку с горизонтальной оси.

При $a больше или равно 3$ в круг попадает точка $z=4.$ Ясно что при $a меньше 4$ в круг не попадут никакие точки с целыми координатами из четвертой четверти (кроме лежащих на оси), поскольку расстояние от $левая круглая скобка 4;3 правая круглая скобка$ до прямой $y= минус 1$ равно 4. С другой стороны, уже при $a= корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента$ в круг попадут точки 2 и 4, после чего условие единственности нарушится. При $a меньше корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента$ никакие целые точки кроме $левая круглая скобка 4;0 правая круглая скобка$ в круг не попадут (чем дальше точка на оси от $левая круглая скобка 4;0 правая круглая скобка ,$ тем больше у нее и расстояние до $левая круглая скобка 4;3 правая круглая скобка .$

Ответ: $левая квадратная скобка 3; корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 2853

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 2000 год, работа 2, вариант 2

? Классификатор: Параметр в задачах с комплексными числами

Сложность: 10 из 10

Прототип задания · Спрятать критерии