№ 3018 
Выпускные экзамены по математике для школ России. Углубленная программа. 33. Параметры с комплексными числами
i
Найдите все значения вещественного параметра t, при которых система 
имеет ровно три решения.
Решение. Решение. Заметим, что при 
система решений не имеет, а при 
имеет единственное решение 
Остается рассмотреть случай 
Пусть 
где 
— вещественные числа, тогда 
и из первого уравнения системы получаем 
откуда 
Подставляя 
во второе уравнение системы, имеем
При 
последнее уравнение равносильно уравнению
Это биквадратное уравнение, которое должно иметь ровно три решения. Это возможно только в том случае, когда один из его корней равен нулю. Подставляя 
и учитывая 
находим 
Подставляя теперь 
имеем:
Последнее уравнение имеет ровно три решения. Следовательно, при данная система имеет ровно три решения.
Ответ: 10.
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: 10.
Задание парного варианта: 3041
