3. Комплексные числа
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
3Б. Даны комплексные числа 
и 
а) Изобразите на чертеже множество M всех таких комплексных чисел z, что 
б) Изобразите на чертеже множество K всех таких комплексных чисел z, что 
в) Найдите все числа, содержащиеся и в K , и в M.
г) Среди чисел, принадлежащих множеству K, найдите число с наименьшим модулем.
поэтому лежит на серединном перпендикуляре к соединяющему их отрезку (см. рисунок).
тогда первое условие дает 
получаем 
Второе условие дает 
получаем 
(окружность и прямая касаются. Это неудивительно, поскольку 
а радиус окружности вдвое меньше).
получим: 
Отсюда 
и искомая точка 
(Это основание перпендикуляра, опущенного на прямую из начала координат).
г) 
Задание парного варианта: 1730
3А. Рассматриваются комплексные числа z, 
и 
а) Найдите все числа z такие, что 
б) Изобразите на чертеже множество всех таких чисел z, что вещественная и мнимая части числа 
равны.
в) Изобразите на чертеже множество всех таких чисел z, что вещественная и мнимая части числа u равны.
г) Пусть 
Найдите наименьшее значение 
то либо 
либо 
то есть 
а значит 
Ответ: 
или 
то 
Получаем, что 
— уравнение прямой.
то 
и радиусом 
откуда и 
Тогда
и для точки 
получаем 
б) см. рис. 1; в) см. рис. 2; г) 1.Задание парного варианта: 1773
3В. Дано комплексное число 
а) Изобразите на чертеже множество всех таких комплексных чисел z, что 
б) Проверьте, являются ли числа a и 
корнями уравнения 
в) Изобразите на чертеже множество M всех комплексных чисел z таких, что 
г) Найдите наименьшее значение выражения 
для 
Поэтому искомое множество — окружность с центром в 
и радиусом 
(cм. левый рисунок).
Это уравнение прямой 
(см. правый рисунок).
— сумма расстояний от точки z до точек a и 
равного 
и это значение достигается в точке пересечения данного отрезка и прямой из предыдущего пункта.
— корень уравнения; в) см. рис. справа; 
3А. Рассматриваются комплексные числа z и 
а) Пусть 
Запишите в алгебраической форме все числа a такие, что 
б) Изобразите на чертеже множество всех комплексных чисел z таких, что 
в) Пусть 
. Изобразите на чертеже множество всех чисел 
г) Пусть 
Найдите все числа z такие, что начало координат O и точки, соответствующие числам z, и 
лежат на одной окружности.
то 
Решим уравнение 
либо 
Поэтому 
то либо 
либо 
То есть либо 
либо 
откуда 
— это вертикальная прямая.
откуда 
— это горизонтальная ось (см. левый рисунок).
сначала отражает точку z относительно начала координат, а потом сдвигает полученную точку на 2. Значит, нужно сначала отразить единичную окружность относительно начала координат (она останется собой), а потом сдвинуть на 2 (она превратится в окружность радиуса 1 с центром в точке 2) (см. правый рисунок).
вещественное число, то точки 
лежат на горизонтальной оси. Если они все различны, то они не могут лежать на окружности. Если же нет, то либо 
либо 
(не лежит на окружности 
В первом случае получаем точки 
и 
то есть всего две различных точки. Этот случай годится.
и точки z и 
симметричны относительно горизонтальной оси. Значит, она является серединным перпендикуляром к соединяющему их отрезку и потому центр любой окружности, проходящей через z и 
лежит на ней.
а 
отсюда видно, что при 
(а если 
Итак, центром окружности должна быть точка 1. Значит, радиус окружности равен 
— равносторонний и имеет углы по 
Это позволяет найти такие точки с точностью до двух вариантов
б) см. рис.; в) см. рис.; г) 
Задание парного варианта: 1717
3А. Рассматриваются комплексные числа z и 
а) Запишите в алгебраической форме все числа z такие, что 
б) Изобразите на чертеже совокупность всех чисел z таких, что 
и 
в) Пусть 
Найдите наименьшее значение расстояния между точками комплексной плоскости, соответствующими z и u.
г) Пусть Найдите наибольшее значение площади треугольника с вершинами в точках, соответствующих z и u, и начале координат O.
где 
Тогда 
Отсюда 
но 
Покажем, что угол OAB может быть равен 
Для этого достаточно предъявить такое z, что 
а 
(теорема, обратная теореме Пифагора). Но пусть 
тогда 
то 
Итак, существует такое число z, что в треугольнике OAB прямой угол OAB, но тем самым наибольшее возможное значение площади — 
б) см. рис.; в) 2; г) 1.Задание парного варианта: 1827
Пройти тестирование по этим заданиям