1. Показательная и логарифмическая функции
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
2. Дана функция: 
а) Решите неравенство: 
б) Решите уравнение: 
в) Найдите промежутки монотонности функции f.
г) Выясните, сколько корней имеет уравнение 
(в зависимости от а).
а) Последовательно получаем:
Значит, 
Следовательно, 
б) Имеем:
Заметим, что
посторонний корень, так как 
в точке 3 не определен.
в) Функция 
убывает на 
и возрастает на 
принимая значение 0 в точках 
Значит, 
убывает на 
и возрастает на 
принимая там положительные значения. Значит, 
определена на этих промежутках и тоже возрастает при 
и убывает при 
г) В дополнение к предыдущему пункту заметим, что:
поэтому функция принимает все значения от 
до 2 сначала на промежутке 
а потом еще раз на промежутке 
Поэтому при 
решений нет, при 
решение единственное, при 
решений два.
Ответ: а) 
б) {1}, в) На 
возрастает, на 
убывает, г) Если 
то два корня; если 
то один корень; если 
то корней нет.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) {1}, в) На возрастает, на убывает, г) Если то два корня; если то один корень; если то корней нет.Задание парного варианта: 1728
2. Дана функция 
а) Решите уравнение 
б) Решите неравенство 
в) Найдите промежутки монотонности функции 
г) Найдите множество значений функции 
при 
а) Преобразуем уравнение:
Запомним, что 
и запишем равенство числителей: 
Обозначим 
получим
Вернемся к исходной переменной: 
Ответ: 
б) Преобразуем неравенство 
Обозначим получим
Вернемся к исходной переменной: 
отсюда 
в) Исследуем сначала функцию 
Возьмем ее производную.
Значит, эта функция возрастает на промежутках 
и 
Заметим далее, что 
— возрастающая функция, а композиция двух возрастающих функций сама возрастает. Поскольку 
при 
и определено при 
получаем окончательный ответ — функция возрастает на 
и 
(в ответе промежутки объединять нельзя, поскольку например 
).
г) Как следует из предыдущего пункта, функция монотонна на 
поэтому достаточно понять ее значение при 
и предел справа в точке 
Числитель этой дроби стремится к −3, а знаменатель к нулю, принимая положительные значения. Значит, предел равен 
Ответ: 
Ответ: а)
б) 
в) функция возрастает на 
и 
г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) Преобразуем неравенство
Обозначим получим
Вернемся к исходной переменной: отсюда
в) Исследуем сначала функцию Возьмем ее производную.
Значит, эта функция возрастает на промежутках и Заметим далее, что — возрастающая функция, а композиция двух возрастающих функций сама возрастает. Поскольку при и определено при получаем окончательный ответ — функция возрастает на и (в ответе промежутки объединять нельзя, поскольку например ).
г) Как следует из предыдущего пункта, функция монотонна на поэтому достаточно понять ее значение при и предел справа в точке
Числитель этой дроби стремится к −3, а знаменатель к нулю, принимая положительные значения. Значит, предел равен
Ответ: а) б) в) функция возрастает на и г)
Задание парного варианта: 1772
2. Дана функция 
а) Вычислите 
б) Решите уравнение 
в) Найдите множество значений функции
г) Постройте график функции на луче 
Упростим исходную функцию:
а) Имеем:
б) Решим уравнение:
в) Заметим, что 
принимает все значения на луче 
поэтому 
принимает все значения на 
принимает все значения на 
принимает все значения на 
принимает все значения на 
Ответ: 
г) Из предыдущего пункта следует, что функция не имеет корней. При 
получаем
будет горизонтальной асимптотой.Возьмем производную
Возьмем вторую производную
поэтому функция на данном луче выпукла вниз.Осталось построить график.
Ответ: а) 
б) 
в) 
г) см. рис.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
г) Из предыдущего пункта следует, что функция не имеет корней. При получаем
будет горизонтальной асимптотой.Возьмем производную
Возьмем вторую производную
поэтому функция на данном луче выпукла вниз.Осталось построить график.
а)
б) в) г) см. рис.
Задание парного варианта: 1799
1. Дана функция 
а) Решите неравенство 
б) Решите уравнение 
в) Выясните, какое из чисел ближе к единице — 
или 
г) Найдите множество значений функции 
Сразу отметим, что функция определена при условии 
то есть 
и тогда
а) Запишем неравенство в виде 
и преобразуем его
Отсюда, учитывая ОДЗ, находим 
б) Упростим правую часть. Для этого извлечем квадратный корень из основания и аргумента логарифма. Затем, снимем модуль, учитывая, что 
Получаем:
На ОДЗ получаем:
в) Имеем:
Надо выяснить, какое из чиcел меньше — 
или 
Сравним их:
Поскольку 
то и 
значит, 
ближе к единице.
г) При 
выражение 
принимает все значения из промежутка поэтому выражение 
принимает все значения из промежутка поэтому выражение 
принимает все значения из промежутка поэтому выражение 
принимает все значения из промежутка 
поэтому выражение 
принимает все значения из промежутка 
Ответ: а) б) 
в) 
ближе; г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) в) ближе; г) Задание парного варианта: 1715
2. Дана функция 
а) Решите неравенство 
б) Решите уравнение 
в) Найдите промежутки монотонности функции
г) Выясните, существует ли такое положительное число a, что уравнение 
имеет ровно два решения.
а) Преобразуем: 
Обозначая 
получаем неравенство 
Отсюда: 
Теперь решим неравенство 
б) Имеем уравнение 
Решая уравнения
получаем ответ: 
в) Исследуем функцию 
Она, очевидно, убывает на луче 
и возрастает на луче 
возрастает на луче 
и при 
имеем ответ: функция f на промежутке 
убывает, а на луче 
— возрастает.
г) Введем функцию 
Обозначим и 
Достаточно выяснить, существует ли такое число b, что уравнение 
имеет ровно два решения. Но оно имеет или одно решение 
или бесконечно много решений 
ДРУГОЕ РЕШЕНИЕ: Предположим, что найдется такое a, что уравнение 
имеет ровно два решения 
и 
Пусть, например, 
(
очевидно, не подходит, но для 
можно провести аналогичное рассуждение). Ясно, что 
Но пользуясь проведенным исследованием на монотонность, заключаем, что 
Но тогда 
— противоречие.
Ответ: а) 
б) 
в) на функция убывает; на — возрастает; г) не существует.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) в) на функция убывает; на — возрастает; г) не существует.Задание парного варианта: 1826
Пройти тестирование по этим заданиям
Наверх