Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1794
i

2.  Дана функ­ция  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1 конец дроби .

а)  Вы­чис­ли­те  f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: \log _35, зна­ме­на­тель: \log _32 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  Ре­ши­те урав­не­ние  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =3.

в)  Най­ди­те мно­же­ство зна­че­ний функ­ции  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка .

г)  По­строй­те гра­фик функ­ции  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка на луче  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ;0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Упро­стим ис­ход­ную функ­цию:

f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни x плюс 1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4 умно­жить на 2 в сте­пе­ни x плюс 1, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни x плюс 1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4 умно­жить на 2 в сте­пе­ни x плюс 4 минус 3, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни x плюс 1 конец дроби =4 минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни x плюс 1 конец дроби .

а)  Имеем:

f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 5, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =f левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 5 пра­вая круг­лая скоб­ка =4 минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 5 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1 конец дроби =4 минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 плюс 1 конец дроби =4 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = целая часть: 3, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 .

б)  Решим урав­не­ние:

4 минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни x плюс 1 конец дроби =3 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни x плюс 1 конец дроби =1 рав­но­силь­но 2 в сте­пе­ни x плюс 1=3 рав­но­силь­но 2 в сте­пе­ни x =2 рав­но­силь­но x=1.

в)  За­ме­тим, что 2 в сте­пе­ни x при­ни­ма­ет все зна­че­ния на луче  левая круг­лая скоб­ка 0; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка , по­это­му 2 в сте­пе­ни x плюс 1 при­ни­ма­ет все зна­че­ния на  левая круг­лая скоб­ка 1; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка ;  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни x плюс 1 конец дроби при­ни­ма­ет все зна­че­ния на  левая круг­лая скоб­ка 0;1 пра­вая круг­лая скоб­ка ;  дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни x плюс 1 конец дроби при­ни­ма­ет все зна­че­ния на  левая круг­лая скоб­ка 0;3 пра­вая круг­лая скоб­ка ; 4 минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни x плюс 1 конец дроби при­ни­ма­ет все зна­че­ния на  левая круг­лая скоб­ка 1;4 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Ответ: f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 1;4 пра­вая круг­лая скоб­ка .

г)  Из преды­ду­ще­го пунк­та сле­ду­ет, что функ­ция не имеет кор­ней. При xarrow минус бес­ко­неч­ность по­лу­ча­ем

4 минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни x плюс 1 конец дроби arrow 4 минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 0 плюс 1 конец дроби =1,

по­это­му пря­мая y=1 будет го­ри­зон­таль­ной асимп­то­той.

Возь­мем про­из­вод­ную

 левая круг­лая скоб­ка 4 минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни x плюс 1 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка '= левая круг­лая скоб­ка 4 минус 3 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка '=
=0 минус 3 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка '=3 левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 2 в сте­пе­ни x на­ту­раль­ный ло­га­рифм 2= дробь: чис­ли­тель: 3 на­ту­раль­ный ло­га­рифм 2 умно­жить на 2 в сте­пе­ни x , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби боль­ше 0,

по­это­му функ­ция воз­рас­та­ет на всем луче, наи­боль­шее зна­че­ние ее это f левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка =4 минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =2,5.

Возь­мем вто­рую про­из­вод­ную

 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 на­ту­раль­ный ло­га­рифм 2 умно­жить на 2 в сте­пе­ни x , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка '=3 на­ту­раль­ный ло­га­рифм 2 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2 в сте­пе­ни x , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка '=3 на­ту­раль­ный ло­га­рифм 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни x пра­вая круг­лая скоб­ка ' умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка ' умно­жить на 2 в сте­пе­ни x , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни 4 конец дроби =
=3 на­ту­раль­ный ло­га­рифм 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2 в сте­пе­ни x на­ту­раль­ный ло­га­рифм 2 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 2 левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ' умно­жить на 2 в сте­пе­ни x , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни 4 конец дроби = 3 на­ту­раль­ный ло­га­рифм 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2 в сте­пе­ни x на­ту­раль­ный ло­га­рифм 2 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ' умно­жить на 2 в сте­пе­ни x , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе конец дроби =
= 3 на­ту­раль­ный ло­га­рифм 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2 в сте­пе­ни x на­ту­раль­ный ло­га­рифм 2 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 умно­жить на 2 в сте­пе­ни x на­ту­раль­ный ло­га­рифм 2 умно­жить на 2 в сте­пе­ни x , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе конец дроби = 3\ln в квад­ра­те 2 умно­жить на 2 в сте­пе­ни x дробь: чис­ли­тель: 2 в сте­пе­ни x плюс 1 минус 2 умно­жить на 2 в сте­пе­ни x , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе конец дроби = 3\ln в квад­ра­те 2 умно­жить на 2 в сте­пе­ни x дробь: чис­ли­тель: 1 минус 2 в сте­пе­ни x , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе конец дроби боль­ше или равно 0

при x мень­ше или равно 0, по­это­му функ­ция на дан­ном луче вы­пук­ла вниз.

Оста­лось по­стро­ить гра­фик.

 

Ответ: а)  дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; б)  левая фи­гур­ная скоб­ка 1 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; в)  левая круг­лая скоб­ка 1;4 пра­вая круг­лая скоб­ка ; г) см. рис.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1799

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 1994 год, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Вы­чис­ле­ния и пре­об­ра­зо­ва­ния (кроме три­го­но­мет­рии), Ис­сле­до­ва­ние функ­ций, По­ка­за­тель­ные урав­не­ния и их си­сте­мы, По­стро­е­ние гра­фи­ков функ­ций, гра­фи­ков урав­не­ний
?
Сложность: 9 из 10