Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1826

2. Дана функция  f(x)=\log _3 дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби умножить на \log _3x.

а) Решите неравенства  f(x) больше 6.

б) Решите уравнение  |f(x)|=f левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .

в) Найдите промежутки монотонности функции  f(x).

г) Выясните, сколько корней имеет уравнение  f(x)=f(x умножить на a в степени ( минус 1) ) в зависимости от a (при  a больше 0).

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем функцию f(x)

 логарифм по основанию 3 дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби умножить на логарифм по основанию 3 x=( логарифм по основанию 3 x минус логарифм по основанию 3 3) логарифм по основанию 3 x=( логарифм по основанию 3 x минус 1) логарифм по основанию 3 x= логарифм по основанию 3 в квадрате x минус логарифм по основанию 3 x.

а) Обозначим  логарифм по основанию 3 x=t, тогда неравенство примет вид

t в квадрате минус t больше 6 равносильно t в квадрате минус t минус 6 больше 0 равносильно (t минус 3)(t плюс 2) больше 0 равносильно совокупность выражений t меньше минус 2,t больше 3. конец совокупности .

Тогда  логарифм по основанию 3 x меньше минус 2 или  логарифм по основанию 3 x больше 3, отсюда 0 меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби или x больше 27. Окончательно x принадлежит левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка \cup (27; плюс принадлежит fty).

б) Обозначим  логарифм по основанию 3 x=t, тогда

 логарифм по основанию 3 дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби = логарифм по основанию 3 x минус логарифм по основанию 3 3= логарифм по основанию 3 x минус 1=t минус 1

и получаем

\abst в квадрате минус t=(t минус 1) в квадрате минус (t минус 1) равносильно \abst в квадрате минус t=t в квадрате минус 2t плюс 1 минус t плюс 1 равносильно \abst в квадрате минус t=t в квадрате минус 3t плюс 2.

Значит, либо t в квадрате минус t=t в квадрате минус 3t плюс 2, откуда t=1 — действительно корень уравнения, и x=3; либо

t в квадрате минус t= минус t в квадрате плюс 3t минус 2 равносильно 2t в квадрате минус 4t плюс 2=0 равносильно 2(t минус 1) в квадрате =0 равносильно t=1,

этот корень уже найден. Итого, x=3.

в) Заметим, что t в квадрате минус t — квадратный трехчлен с наименьшим значением при t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , поэтому t в квадрате минус t убывает при t меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби и возрастает при t больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . Поскольку  логарифм по основанию 3 x — монотонно возрастающая функция, композиция с ней не меняет характер монотонности. То есть f(x) убывает при  логарифм по основанию 3 x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби и возрастает при  логарифм по основанию 3 x больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . Окончательно f(x) убывает на (0; корень из (3) ] и возрастает на [ корень из (3) ; плюс принадлежит fty).

г) Заметим, что

 логарифм по основанию 3 (xa в степени ( минус 1) )= логарифм по основанию 3 дробь: числитель: x, знаменатель: a конец дроби = логарифм по основанию 3 x минус логарифм по основанию 3 a.

Обозначим  логарифм по основанию 3 x=t,  логарифм по основанию 3 a=b. Получаем

t в квадрате минус t=(t минус b) в квадрате минус (t минус b) равносильно t в квадрате минус t=t в квадрате минус 2bt плюс b в квадрате минус t плюс b равносильно 2bt=b плюс b в квадрате .

При b=0 годится любое t, то есть при a=1 годится любое x больше 0. При прочих b получаем уравнение 2t=1 плюс b, имеющее один корень t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби (1 плюс b), откуда x=3 в степени ( дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби (1 плюс логарифм по основанию 3 a))  — один корень. Итого, при a=1 бесконечно много корней, при a не равно 1, a больше 0 — один корень.

 

Ответ: а)  левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка \cup (27; плюс принадлежит fty ); б)  \3\; в) на  (0; корень из (3) ] функция убывает; на  [ корень из (3) ; плюс принадлежит fty )  — возрастает; г) при  a=1  — бесконечно много решений; при  a не равно 1  — один корень.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1804

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 1996 год, вариант 2
? Классификатор: Исследование функций, Логарифмические неравенства, Логарифмические уравнения и системы, Уравнения с параметром
?
Сложность: 9 из 10