Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1826
i

2.  Дана функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =\log _3 дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на \log _3x.

а)  Ре­ши­те не­ра­вен­ства f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 6.

б)  Ре­ши­те урав­не­ние |f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка |=f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

в)  Най­ди­те про­ме­жут­ки мо­но­тон­но­сти функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка .

г)  Вы­яс­ни­те, сколь­ко кор­ней имеет урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =f левая круг­лая скоб­ка x умно­жить на a в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка в за­ви­си­мо­сти от a (при a боль­ше 0).

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем функ­цию f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x= левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 3 пра­вая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x= левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x= ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 в квад­ра­те x минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x.

а)  Обо­зна­чим ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x=t, тогда не­ра­вен­ство при­мет вид

t в квад­ра­те минус t боль­ше 6 рав­но­силь­но t в квад­ра­те минус t минус 6 боль­ше 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка t минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка t плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t мень­ше минус 2,t боль­ше 3. конец со­во­куп­но­сти .

Тогда ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x мень­ше минус 2 или ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x боль­ше 3, от­сю­да 0 мень­ше x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби или x боль­ше 27. Окон­ча­тель­но x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 27; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  Обо­зна­чим ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x=t, тогда

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 3= ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x минус 1=t минус 1

и по­лу­ча­ем

\abst в квад­ра­те минус t= левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но \abst в квад­ра­те минус t=t в квад­ра­те минус 2t плюс 1 минус t плюс 1 рав­но­силь­но \abst в квад­ра­те минус t=t в квад­ра­те минус 3t плюс 2.

Зна­чит, либо t в квад­ра­те минус t=t в квад­ра­те минус 3t плюс 2, от­ку­да t=1  — дей­стви­тель­но ко­рень урав­не­ния, и x=3; либо

t в квад­ра­те минус t= минус t в квад­ра­те плюс 3t минус 2 рав­но­силь­но 2t в квад­ра­те минус 4t плюс 2=0 рав­но­силь­но 2 левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =0 рав­но­силь­но t=1,

этот ко­рень уже най­ден. Итого, x=3.

в)  За­ме­тим, что t в квад­ра­те минус t  — квад­рат­ный трех­член с наи­мень­шим зна­че­ни­ем при t= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , по­это­му t в квад­ра­те минус t убы­ва­ет при t мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби и воз­рас­та­ет при t боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . По­сколь­ку ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x  — мо­но­тон­но воз­рас­та­ю­щая функ­ция, ком­по­зи­ция с ней не ме­ня­ет ха­рак­тер мо­но­тон­но­сти. То есть f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка убы­ва­ет при ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби и воз­рас­та­ет при ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Окон­ча­тель­но f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка убы­ва­ет на левая круг­лая скоб­ка 0; ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и воз­рас­та­ет на левая квад­рат­ная скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

г)  За­ме­тим, что

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка xa в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: a конец дроби = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 a.

Обо­зна­чим ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x=t, ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 a=b. По­лу­ча­ем

t в квад­ра­те минус t= левая круг­лая скоб­ка t минус b пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка t минус b пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но t в квад­ра­те минус t=t в квад­ра­те минус 2bt плюс b в квад­ра­те минус t плюс b рав­но­силь­но 2bt=b плюс b в квад­ра­те .

При b=0 го­дит­ся любое t, то есть при a=1 го­дит­ся любое x боль­ше 0. При про­чих b по­лу­ча­ем урав­не­ние 2t=1 плюс b, име­ю­щее один ко­рень t= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 1 плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка , от­ку­да x=3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 1 плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 a пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка   — один ко­рень. Итого, при a=1 бес­ко­неч­но много кор­ней, при a не равно 1, a боль­ше 0  — один ко­рень.

 

Ответ: а) левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 27; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка ; б) левая фи­гур­ная скоб­ка 3 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; в) на левая круг­лая скоб­ка 0; ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая квад­рат­ная скоб­ка функ­ция убы­ва­ет; на левая квад­рат­ная скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка   — воз­рас­та­ет; г) при a=1   — бес­ко­неч­но много ре­ше­ний; при a не равно 1   — один ко­рень.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1804

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 1996 год, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ис­сле­до­ва­ние функ­ций, Ло­га­риф­ми­че­ские не­ра­вен­ства, Ло­га­риф­ми­че­ские урав­не­ния и си­сте­мы, Урав­не­ния с па­ра­мет­ром
?
Сложность: 9 из 10
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025