Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1715

1. Дана функция  f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\log _3 левая круглая скобка 8 минус x правая круглая скобка минус \log _3 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка .

а) Решите неравенство  f левая круглая скобка x правая круглая скобка больше 1.

б) Решите уравнение  f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\log _ дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2x плюс 5 конец дроби правая круглая скобка .

в) Выясните, какое из чисел ближе к единице —  f левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка или  f левая круглая скобка минус 5 правая круглая скобка .

г) Найдите множество значений функции  f левая круглая скобка x правая круглая скобка .

Спрятать решение

Решение.

Сразу отметим, что функция определена при условии  минус x больше 0, то есть x меньше 0, и тогда

f левая круглая скобка x правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 8 минус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 дробь: числитель: 8 минус x, знаменатель: минус x конец дроби = логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 8, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка .

а) Запишем неравенство в виде  логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 8 минус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка больше 1 и преобразуем его

 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 8 минус x правая круглая скобка больше логарифм по основанию 3 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 3 3 равносильно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 8 минус x правая круглая скобка больше логарифм по основанию 3 левая круглая скобка минус 3x правая круглая скобка равносильно 8 минус x больше минус 3x равносильно 2x больше минус 8 равносильно x больше минус 4.

Отсюда, учитывая ОДЗ, находим x принадлежит левая круглая скобка минус 4;0 правая круглая скобка .

б) Решим уравнение:

 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 8 минус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2x плюс 5 конец дроби правая круглая скобка равносильно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 8 минус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка = минус логарифм по основанию 3 левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2x плюс 5 конец дроби правая круглая скобка равносильно
 равносильно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 8 минус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка = минус логарифм по основанию 3 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: минус 2x минус 5 конец дроби правая круглая скобка равносильно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 8 минус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка = минус логарифм по основанию 3 левая круглая скобка минус 2x минус 5 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка равносильно
 равносильно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 8 минус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 левая круглая скобка минус 2x минус 5 правая круглая скобка равносильно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 8 минус x правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 левая круглая скобка минус 2x минус 5 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 3 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка

(В этот момент можно запомнить, что  минус 2x минус 5 больше 0, хотя это и не обязательно). Далее:

 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 8 минус x правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 левая круглая скобка минус 2x минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка минус x правая круглая скобка равносильно 8 минус x= левая круглая скобка минус 2x минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка минус x правая круглая скобка равносильно 8 минус x=2x в квадрате плюс 5x равносильно
 равносильно 2x в квадрате плюс 6x минус 8=0 равносильно x в квадрате плюс 3x минус 4=0 равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений x= минус 4,x=1 конец совокупности . \undersetx меньше минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби \mathop равносильно равносильно x= минус 4.

в)Имеем:

f левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 8, знаменатель: минус 3 конец дроби правая круглая скобка = логарифм по основанию целая часть: 3, дробная часть: числитель: 11, знаменатель: 3 больше 1,

f левая круглая скобка минус 5 правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 8, знаменатель: минус 5 конец дроби правая круглая скобка = логарифм по основанию целая часть: 3, дробная часть: числитель: 13, знаменатель: 5 меньше 1.

Надо выяснить, какое из чиcел меньше —  логарифм по основанию целая часть: 3, дробная часть: числитель: 11, знаменатель: 3 минус 1 или 1 минус логарифм по основанию целая часть: 3, дробная часть: числитель: 13, знаменатель: 5 . Сравним их:

 логарифм по основанию целая часть: 3, дробная часть: числитель: 11, знаменатель: 3 минус 1 меньше больше 1 минус логарифм по основанию целая часть: 3, дробная часть: числитель: 13, знаменатель: 5 равносильно логарифм по основанию целая часть: 3, дробная часть: числитель: 11, знаменатель: 3 плюс логарифм по основанию целая часть: 3, дробная часть: числитель: 13, знаменатель: 5 меньше больше 2 равносильно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка дробь: числитель: 11, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: 13, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка меньше больше логарифм по основанию 3 9 равносильно дробь: числитель: 143, знаменатель: 15 конец дроби меньше больше 9.

Поскольку 9 меньше дробь: числитель: 143, знаменатель: 15 конец дроби , то и 1 минус логарифм по основанию целая часть: 3, дробная часть: числитель: 13, знаменатель: 5 меньше логарифм по основанию целая часть: 3, дробная часть: числитель: 11, знаменатель: 3 минус 1, значит, f левая круглая скобка минус 5 правая круглая скобка ближе к единице.

г) При x меньше 0 выражение  дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби принимает все значения из промежутка  левая круглая скобка минус бесконечность ;0 правая круглая скобка , поэтому выражение  дробь: числитель: 8, знаменатель: x конец дроби принимает все значения из промежутка  левая круглая скобка минус бесконечность ;0 правая круглая скобка , поэтому выражение 1 минус дробь: числитель: 8, знаменатель: x конец дроби принимает все значения из промежутка  левая круглая скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка , поэтому выражение  логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 8, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка принимает все значения из промежутка  левая круглая скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка .

Ответ:  левая круглая скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка .

 

Ответ: а)  левая круглая скобка минус 4;0 правая круглая скобка ; б)  левая фигурная скобка минус 4 правая фигурная скобка ; в)  f левая круглая скобка минус 5 правая круглая скобка ближе; г)  левая круглая скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1710

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 1995 год, вариант 2
? Классификатор: Исследование функций, Логарифмические неравенства, Логарифмические уравнения и системы, Сравнение чисел
?
Сложность: 9 из 10