Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1750
i

2.  Дана функ­ция  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: \log _2 дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на \log _2 левая круг­лая скоб­ка 4x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: \log _22x конец дроби .

а)  Ре­ши­те урав­не­ние  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 3\log _0,25x, зна­ме­на­тель: \log _0,25x минус 0,5 конец дроби .

б)  Ре­ши­те не­ра­вен­ство  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 2,4.

в)  Най­ди­те про­ме­жут­ки мо­но­тон­но­сти функ­ции  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка .

г)  Най­ди­те мно­же­ство зна­че­ний функ­ции  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка при  x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0,5;2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

 дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 в квад­ра­те x минус 4, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x плюс 1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 0,25 пра­вая круг­лая скоб­ка x, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 0,25 пра­вая круг­лая скоб­ка x минус 0,5 конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 в квад­ра­те x минус 4, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x плюс 1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка x, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка x минус 0,5 конец дроби рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 в квад­ра­те x минус 4, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x плюс 1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x, зна­ме­на­тель: минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x минус 0,5 конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 в квад­ра­те x минус 4, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x плюс 1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: минус 3 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x, зна­ме­на­тель: минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x минус 1 конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 в квад­ра­те x минус 4, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x плюс 1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x плюс 1 конец дроби .

За­пом­ним, что  ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x плюс 1 не равно 0 и за­пи­шем ра­вен­ство чис­ли­те­лей:  ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 в квад­ра­те минус 4=3 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x.

Обо­зна­чим  ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x=t, по­лу­чим

t в квад­ра­те минус 4=3t рав­но­силь­но t в квад­ра­те минус 3t минус 4=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка t минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t плюс 1=0,t минус 4=0 конец со­во­куп­но­сти . \undersett не равно минус 1 \mathop рав­но­силь­но t=4.

Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:  ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x=4 рав­но­силь­но x=16.

Ответ: x=16.

б)  Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство  дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 в квад­ра­те x минус 4, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x плюс 1 конец дроби мень­ше 2,4.

Обо­зна­чим  ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x=t, по­лу­чим

 дробь: чис­ли­тель: t в квад­ра­те минус 4, зна­ме­на­тель: t плюс 1 конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: t в квад­ра­те минус 4, зна­ме­на­тель: t плюс 1 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби мень­ше 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 5 левая круг­лая скоб­ка t в квад­ра­те минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 12 левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 5 левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше 0 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 5t в квад­ра­те минус 20 минус 12t минус 12, зна­ме­на­тель: t плюс 1 конец дроби мень­ше 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 5t в квад­ра­те минус 12t минус 32, зна­ме­на­тель: t плюс 1 конец дроби мень­ше 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка t минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 5t плюс 8 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: t плюс 1 конец дроби мень­ше 0,

с по­мо­щью ме­то­да ин­тер­ва­лов по­лу­ча­ем t при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка минус 1;4 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:  ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка минус 1;4 пра­вая круг­лая скоб­ка , от­сю­да x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0; 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;16 пра­вая круг­лая скоб­ка .

в)  Ис­сле­ду­ем сна­ча­ла функ­цию  дробь: чис­ли­тель: t в квад­ра­те минус 4, зна­ме­на­тель: t плюс 1 конец дроби . Возь­мем ее про­из­вод­ную.

 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: t в квад­ра­те минус 4, зна­ме­на­тель: t плюс 1 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка '= дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка t в квад­ра­те минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка ' умно­жить на левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ' умно­жить на левая круг­лая скоб­ка t в квад­ра­те минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2t левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка t в квад­ра­те минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби =
= дробь: чис­ли­тель: 2t в квад­ра­те плюс 2t минус t в квад­ра­те плюс 4, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: t в квад­ра­те плюс 2t плюс 4, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 3, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби боль­ше 0,

при всех t не равно минус 1. Зна­чит, эта функ­ция воз­рас­та­ет на про­ме­жут­ках  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка и  левая круг­лая скоб­ка минус 1; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

За­ме­тим далее, что  ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x  — воз­рас­та­ю­щая функ­ция, а ком­по­зи­ция двух воз­рас­та­ю­щих функ­ций сама воз­рас­та­ет. По­сколь­ку  ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x= минус 1 при x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби и  ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x опре­де­ле­но при x боль­ше 0, по­лу­ча­ем окон­ча­тель­ный ответ  — функ­ция воз­рас­та­ет на  левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка и  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка (в от­ве­те про­ме­жут­ки объ­еди­нять нель­зя, по­сколь­ку на­при­мер f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =0 боль­ше минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =f левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка ).

г)  Как сле­ду­ет из преды­ду­ще­го пунк­та, функ­ция мо­но­тон­на на  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , по­это­му до­ста­точ­но по­нять ее зна­че­ние при x=2 и пре­дел спра­ва в точке  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

f левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1 в квад­ра­те минус 4, зна­ме­на­тель: 1 плюс 1 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , \lim\limits_xarrow дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 0 f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =\lim\limits_tarrow минус 1 плюс 0 дробь: чис­ли­тель: t в квад­ра­те минус 4, зна­ме­на­тель: t плюс 1 конец дроби .

Чис­ли­тель этой дроби стре­мит­ся к −3, а зна­ме­на­тель к нулю, при­ни­мая по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния. Зна­чит, пре­дел равен  минус бес­ко­неч­ность .

Ответ: f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка

 

Ответ: а) левая фи­гур­ная скоб­ка 16 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б)  левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень 5 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 8 конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;16 пра­вая круг­лая скоб­ка ; в) функ­ция воз­рас­та­ет на  левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка и  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка ; г)  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1772

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 1993 год, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ис­сле­до­ва­ние функ­ций, Ло­га­риф­ми­че­ские не­ра­вен­ства, Ло­га­риф­ми­че­ские урав­не­ния и си­сте­мы
?
Сложность: 9 из 10