Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1710

1. Дана функция  f(x)=\log _2(x плюс 2) минус \log _2(x минус 1) .

а) Решите неравенство  f(x) больше 1 .

б) Решите уравнение  f(x)=\log _4(4x в квадрате ) .

в) Выясните, какое из чисел ближе к единице —  f(3) или  f(5) .

г) Найдите множество значений функции  f(x) .

Спрятать решение

Решение.

Сразу отметим, что функция определена при условии x минус 1 больше 0, то есть x больше 1, и тогда

f(x)= логарифм по основанию 2 (x плюс 2) минус логарифм по основанию 2 (x минус 1)= логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x плюс 2, знаменатель: x минус 1 конец дроби = логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: x минус 1 конец дроби правая круглая скобка .

а) Запишем неравенство в виде  логарифм по основанию 2 (x плюс 2) минус логарифм по основанию 2 (x минус 1) больше 1 и преобразуем его

 логарифм по основанию 2 (x плюс 2) больше логарифм по основанию 2 (x минус 1) плюс логарифм по основанию 2 2 равносильно логарифм по основанию 2 (x плюс 2) больше логарифм по основанию 2 2(x минус 1) равносильно x плюс 2 больше 2x минус 2 равносильно 4 больше x.

Отсюда, учитывая ОДЗ, находим x принадлежит (1;4).

б) Упростим правую часть. Для этого извлечем квадратный корень из основания и аргумента логарифма. Затем, снимем модуль, учитывая, что x больше 1. Получаем:

 логарифм по основанию 4 (4x в квадрате ) = логарифм по основанию 2 (2|x|) = логарифм по основанию 2 2x.

На ОДЗ получаем:

 логарифм по основанию 2 (x плюс 2) минус логарифм по основанию 2 (x минус 1)= логарифм по основанию 2 (2x) равносильно
 равносильно логарифм по основанию 2 (x плюс 2)= логарифм по основанию 2 (2x) плюс логарифм по основанию 2 (x минус 1) \undersetx больше 1\mathop равносильно логарифм по основанию 2 (x плюс 2)= логарифм по основанию 2 (2x(x минус 1)) \undersetx больше 1\mathop равносильно
\undersetx больше 1\mathop равносильно x плюс 2=2x(x минус 1) равносильно 2x в квадрате минус 3x минус 2=0 равносильно совокупность выражений x=2,x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . \undersetx больше 1\mathop равносильно x=2.

в) Имеем:

f(3)= логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 3 минус 1 конец дроби правая круглая скобка = логарифм по основанию целая часть: 2, дробная часть: числитель: 5, знаменатель: 2 больше 1,

f(5)= логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 минус 1 конец дроби правая круглая скобка = логарифм по основанию целая часть: 2, дробная часть: числитель: 7, знаменатель: 4 меньше 1.

Надо выяснить, какое из чиcел меньше —  логарифм по основанию целая часть: 2, дробная часть: числитель: 5, знаменатель: 2 минус 1 или 1 минус логарифм по основанию целая часть: 2, дробная часть: числитель: 7, знаменатель: 4 . Сравним их:

 логарифм по основанию целая часть: 2, дробная часть: числитель: 5, знаменатель: 2 минус 1 меньше больше 1 минус логарифм по основанию целая часть: 2, дробная часть: числитель: 7, знаменатель: 4 равносильно логарифм по основанию целая часть: 2, дробная часть: числитель: 5, знаменатель: 2 плюс логарифм по основанию целая часть: 2, дробная часть: числитель: 7, знаменатель: 4 меньше больше 2 равносильно логарифм по основанию 2 ( дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби ) меньше больше логарифм по основанию 2 4 равносильно дробь: числитель: 35, знаменатель: 8 конец дроби меньше больше 4.

Поскольку 4 меньше дробь: числитель: 35, знаменатель: 8 конец дроби , то и 1 минус логарифм по основанию целая часть: 2, дробная часть: числитель: 7, знаменатель: 4 меньше логарифм по основанию целая часть: 2, дробная часть: числитель: 5, знаменатель: 2 минус 1, значит, f(5) ближе к единице.

г) При x больше 1 выражение x минус 1 принимает все значения из промежутка (0; принадлежит fty), поэтому выражение  дробь: числитель: 1, знаменатель: x минус 1 конец дроби принимает все значения из промежутка (0; принадлежит fty), поэтому выражение  дробь: числитель: 3, знаменатель: x минус 1 конец дроби принимает все значения из промежутка (0; принадлежит fty), поэтому выражение 1 плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: x минус 1 конец дроби принимает все значения из промежутка (1; принадлежит fty), поэтому выражение  логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: x минус 1 конец дроби правая круглая скобка принимает все значения из промежутка (0; принадлежит fty).

 

Ответ: а)  (1;4); б)  \2\; в)  f(5) ближе; г)  (0; плюс принадлежит fty ).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1715

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 1995 год, вариант 1
? Классификатор: Исследование функций, Логарифмические неравенства, Логарифмические уравнения и системы
?
Сложность: 9 из 10