Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1710
i

1.  Дана функ­ция  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =\log _2 левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка минус \log _2 левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

а)  Ре­ши­те не­ра­вен­ство  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 1 .

б)  Ре­ши­те урав­не­ние  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =\log _4 левая круг­лая скоб­ка 4x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка .

в)  Вы­яс­ни­те, какое из чисел ближе к еди­ни­це  —  f левая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая круг­лая скоб­ка или  f левая круг­лая скоб­ка 5 пра­вая круг­лая скоб­ка .

г)  Най­ди­те мно­же­ство зна­че­ний функ­ции  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Сразу от­ме­тим, что функ­ция опре­де­ле­на при усло­вии x минус 1 боль­ше 0, то есть x боль­ше 1, и тогда

f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 дробь: чис­ли­тель: x плюс 2, зна­ме­на­тель: x минус 1 конец дроби = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка 1 плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: x минус 1 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

а)  За­пи­шем не­ра­вен­ство в виде  ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 1 и пре­об­ра­зу­ем его

 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 2 рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 2 левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но x плюс 2 боль­ше 2x минус 2 рав­но­силь­но 4 боль­ше x.

От­сю­да, учи­ты­вая ОДЗ, на­хо­дим x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 1;4 пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  Упро­стим пра­вую часть. Для этого из­вле­чем квад­рат­ный ко­рень из ос­но­ва­ния и ар­гу­мен­та ло­га­риф­ма. Затем, сни­мем мо­дуль, учи­ты­вая, что x боль­ше 1. По­лу­ча­ем:

 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 левая круг­лая скоб­ка 4x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка 2|x| пра­вая круг­лая скоб­ка = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 2x.

На ОДЗ по­лу­ча­ем:

 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \undersetx боль­ше 1\mathop рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка 2x левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка \undersetx боль­ше 1\mathop рав­но­силь­но
\undersetx боль­ше 1\mathop рав­но­силь­но x плюс 2=2x левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но 2x в квад­ра­те минус 3x минус 2=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=2,x= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . \undersetx боль­ше 1\mathop рав­но­силь­но x=2.

в)  Имеем:

f левая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая круг­лая скоб­ка = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка 1 плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 3 минус 1 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию целая часть: 2, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 боль­ше 1,

f левая круг­лая скоб­ка 5 пра­вая круг­лая скоб­ка = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка 1 плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 минус 1 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию целая часть: 2, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 4 мень­ше 1.

Надо вы­яс­нить, какое из чиcел мень­ше  —  ло­га­рифм по ос­но­ва­нию целая часть: 2, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 минус 1 или 1 минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию целая часть: 2, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 4 . Срав­ним их:

 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию целая часть: 2, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 минус 1 мень­ше боль­ше 1 минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию целая часть: 2, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 4 рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию целая часть: 2, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию целая часть: 2, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 4 мень­ше боль­ше 2 рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше боль­ше ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 4 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 35, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби мень­ше боль­ше 4.

По­сколь­ку 4 мень­ше дробь: чис­ли­тель: 35, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби , то и 1 минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию целая часть: 2, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 4 мень­ше ло­га­рифм по ос­но­ва­нию целая часть: 2, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 минус 1, зна­чит, f левая круг­лая скоб­ка 5 пра­вая круг­лая скоб­ка ближе к еди­ни­це.

г)  При x боль­ше 1 вы­ра­же­ние x минус 1 при­ни­ма­ет все зна­че­ния из про­ме­жут­ка  левая круг­лая скоб­ка 0; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка , по­это­му вы­ра­же­ние  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x минус 1 конец дроби при­ни­ма­ет все зна­че­ния из про­ме­жут­ка  левая круг­лая скоб­ка 0; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка , по­это­му вы­ра­же­ние  дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: x минус 1 конец дроби при­ни­ма­ет все зна­че­ния из про­ме­жут­ка  левая круг­лая скоб­ка 0; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка , по­это­му вы­ра­же­ние 1 плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: x минус 1 конец дроби при­ни­ма­ет все зна­че­ния из про­ме­жут­ка  левая круг­лая скоб­ка 1; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка , по­это­му вы­ра­же­ние  ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка 1 плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: x минус 1 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка при­ни­ма­ет все зна­че­ния из про­ме­жут­ка  левая круг­лая скоб­ка 0; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ: а)  левая круг­лая скоб­ка 1;4 пра­вая круг­лая скоб­ка ; б)  левая фи­гур­ная скоб­ка 2 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; в)  f левая круг­лая скоб­ка 5 пра­вая круг­лая скоб­ка ближе; г)  левая круг­лая скоб­ка 0; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1715

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 1995 год, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ис­сле­до­ва­ние функ­ций, Ло­га­риф­ми­че­ские не­ра­вен­ства, Ло­га­риф­ми­че­ские урав­не­ния и си­сте­мы
?
Сложность: 9 из 10