Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1706
i

2.  Дана функ­ция: f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка 4 минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка .

а)  Ре­ши­те не­ра­вен­ство: f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0.

б)  Ре­ши­те урав­не­ние: f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка 7 минус 4x пра­вая круг­лая скоб­ка .

в)  Най­ди­те про­ме­жут­ки мо­но­тон­но­сти функ­ции f.

г)  Вы­яс­ни­те, сколь­ко кор­ней имеет урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =a (в за­ви­си­мо­сти от а).

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка 4 минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но 0 мень­ше 4 минус x в квад­ра­те мень­ше или равно 1 рав­но­силь­но 0 боль­ше x в квад­ра­те минус 4 боль­ше или равно минус 1 рав­но­силь­но 4 боль­ше x в квад­ра­те боль­ше или равно 3.

Зна­чит, x в квад­ра­те при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 3; 4 пра­вая круг­лая скоб­ка . Сле­до­ва­тель­но, x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус 2; минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ;2 пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  Имеем:

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка 4 минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 левая круг­лая скоб­ка 7 минус 4x пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка 4 минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 7 минус 4x пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но
рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка 4 минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка 7 минус 4x пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка 4 минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка 7 минус 4x пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но
рав­но­силь­но 4 минус x в квад­ра­те =7 минус 4x рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 4x плюс 3=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=1,x=3. конец со­во­куп­но­сти .

За­ме­тим, чтоx=3 по­сто­рон­ний ко­рень, так как ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка 4 минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка в точке 3 не опре­де­лен.

в)  Функ­ция x в квад­ра­те убы­ва­ет на левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ;0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и воз­рас­та­ет на левая квад­рат­ная скоб­ка 0; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка , при­ни­мая зна­че­ние 0 в точ­ках x=\pm 2. Зна­чит, 4 минус x в квад­ра­те убы­ва­ет на левая квад­рат­ная скоб­ка 0;2 пра­вая круг­лая скоб­ка и воз­рас­та­ет на левая круг­лая скоб­ка минус 2;0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , при­ни­мая там по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния. Зна­чит, f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка опре­де­ле­на на этих про­ме­жут­ках и тоже воз­рас­та­ет при x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус 2;0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и убы­ва­ет при x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0;2 пра­вая круг­лая скоб­ка .

г)  В до­пол­не­ние к преды­ду­ще­му пунк­ту за­ме­тим, что:

f левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка 4 минус 0 в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 4=2,

\lim\limits_xarrow 2 минус 0f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =\lim\limits_xarrow минус 2 плюс 0f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус бес­ко­неч­ность ,

по­это­му функ­ция при­ни­ма­ет все зна­че­ния от минус бес­ко­неч­ность до 2 сна­ча­ла на про­ме­жут­ке левая круг­лая скоб­ка минус 2;0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , а потом еще раз на про­ме­жут­ке левая квад­рат­ная скоб­ка 0;2 пра­вая круг­лая скоб­ка . По­это­му при a боль­ше 2 ре­ше­ний нет, при a=2 ре­ше­ние един­ствен­ное, при a мень­ше 2 ре­ше­ний два.

 

Ответ: а) левая круг­лая скоб­ка минус 2; минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ; 2 пра­вая круг­лая скоб­ка , б) {1}, в) На левая круг­лая скоб­ка минус 2; 0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка воз­рас­та­ет, на левая квад­рат­ная скоб­ка 0; 2 пра­вая круг­лая скоб­ка убы­ва­ет, г) Если a мень­ше 2, то два корня; если a=2, то один ко­рень; если a боль­ше 2, то кор­ней нет.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1728

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 1992 год, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ис­сле­до­ва­ние функ­ций, Ло­га­риф­ми­че­ские не­ра­вен­ства, Ло­га­риф­ми­че­ские урав­не­ния и си­сте­мы, Урав­не­ния с па­ра­мет­ром, Функ­ции, за­ви­ся­щие от па­ра­мет­ра
?
Сложность: 9 из 10
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025