Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1706

2. Дана функция: f(x)= логарифм по основанию 2 (4 минус x в квадрате ).

а) Решите неравенство: f(x) меньше или равно 0.

б) Решите уравнение: f(x)=2 логарифм по основанию 2 (7 минус 4x).

в) Найдите промежутки монотонности функции f.

г) Выясните, сколько корней имеет уравнение f(x)=a (в зависимости от а).

Спрятать решение

Решение.

а) Последовательно получаем:

 логарифм по основанию 2 (4 минус x в квадрате ) меньше или равно 0 равносильно 0 меньше 4 минус x в квадрате меньше или равно 1 равносильно 0 больше x в квадрате минус 4 больше или равно минус 1 равносильно 4 больше x в квадрате больше или равно 3.

Значит, x в квадрате принадлежит [3; 4). Следовательно, x принадлежит ( минус 2; минус корень из (3) ]\cup[ корень из (3) ;2).

б) Имеем:

 логарифм по основанию 2 (4 минус x в квадрате )=2 логарифм по основанию 4 (7 минус 4x) равносильно логарифм по основанию 2 (4 минус x в квадрате )=2 логарифм по основанию (2 в квадрате ) (7 минус 4x) равносильно
 равносильно логарифм по основанию 2 (4 минус x в квадрате )=2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 2 (7 минус 4x) равносильно логарифм по основанию 2 (4 минус x в квадрате )= логарифм по основанию 2 (7 минус 4x) равносильно
 равносильно 4 минус x в квадрате =7 минус 4x равносильно x в квадрате минус 4x плюс 3=0 равносильно (x минус 1)(x минус 3)=0 равносильно совокупность выражений x=1,x=3. конец совокупности .

Заметим, чтоx=3 посторонний корень, так как  логарифм по основанию 2 (4 минус x в квадрате ) в точке 3 не определен.

в) Функция x в квадрате убывает на ( минус принадлежит fty;0] и возрастает на [0; принадлежит fty), принимая значение 0 в точках x=\pm 2. Значит, 4 минус x в квадрате убывает на [0;2) и возрастает на ( минус 2;0], принимая там положительные значения. Значит, f(x) определена на этих промежутках и тоже возрастает при x принадлежит ( минус 2;0] и убывает при x принадлежит [0;2).

г) В дополнение к предыдущему пункту заметим, что:

f(0)= логарифм по основанию 2 (4 минус 0 в квадрате )= логарифм по основанию 2 4=2,

\lim\limits_xarrow 2 минус 0f(x)=\lim\limits_xarrow минус 2 плюс 0f(x)= минус принадлежит fty,

поэтому функция принимает все значения от  минус принадлежит fty до 2 сначала на промежутке ( минус 2;0], а потом еще раз на промежутке [0;2). Поэтому при a больше 2 решений нет, при a=2 решение единственное, при a меньше 2 решений два.

 

Ответ: а) ( минус 2; минус корень из (3) ]\cup[ корень из (3) ; 2), б) {1}, в) На ( минус 2; 0] возрастает, на [0; 2) убывает, г) Если a меньше 2, то два корня; если a=2, то один корень; если a больше 2, то корней нет.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1728

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 1992 год, вариант 1
? Классификатор: Исследование функций, Логарифмические неравенства, Логарифмические уравнения и системы, Уравнения с параметром, Функции, зависящие от параметра
?
Сложность: 9 из 10