Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1804
i

2.  Дана функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =\log _2x умно­жить на \log _2 левая круг­лая скоб­ка 4x пра­вая круг­лая скоб­ка .

а)  Ре­ши­те не­ра­вен­ство f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 3.

б)  Ре­ши­те урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =|f левая круг­лая скоб­ка 4x пра­вая круг­лая скоб­ка |.

в)  Най­ди­те про­ме­жут­ки мо­но­тон­но­сти функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка .

г)  Вы­яс­ни­те, су­ще­ству­ет ли такое по­ло­жи­тель­ное число a, что урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =f левая круг­лая скоб­ка ax пра­вая круг­лая скоб­ка имеет ровно два ре­ше­ния.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пре­об­ра­зу­ем: f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =\log в квад­ра­те _2 x умно­жить на плюс 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x. Обо­зна­чая t= ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x, по­лу­ча­ем не­ра­вен­ство t в квад­ра­те плюс 2t минус 3 мень­ше 0. От­сю­да: минус 3 мень­ше t мень­ше 1. Те­перь решим не­ра­вен­ство минус 3 мень­ше ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x мень­ше 1 рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию целая часть: 2, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 мень­ше ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x мень­ше ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 2\underset2 боль­ше 1\mathop рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби мень­ше x мень­ше 2.

б)  Имеем урав­не­ние ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x умно­жить на ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 4x=| ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 4x умно­жить на ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 16x|. Решая урав­не­ния ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 4x=0, ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x= ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 16x, ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x= минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 16x, по­лу­ча­ем ответ: x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

в)  Ис­сле­ду­ем функ­цию y=t в квад­ра­те плюс 2t. Она, оче­вид­но, убы­ва­ет на луче левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и воз­рас­та­ет на луче левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка . Т. к. функ­ция t= ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x воз­рас­та­ет на луче левая круг­лая скоб­ка 0; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка и ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x= минус 1 при x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , имеем ответ: функ­ция f на про­ме­жут­ке левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка убы­ва­ет, а на луче левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка  — воз­рас­та­ет.

г)  Вве­дем функ­цию f левая круг­лая скоб­ка ax пра­вая круг­лая скоб­ка = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 в квад­ра­те x плюс 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 a умно­жить на ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x плюс 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x плюс 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 a плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 в квад­ра­те a. Обо­зна­чим t= ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x и b= ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 a. До­ста­точ­но вы­яс­нить, су­ще­ству­ет ли такое число b, что урав­не­ние t в квад­ра­те плюс 2bt плюс 2t плюс 2b плюс b в квад­ра­те =t в квад­ра­те плюс 2t имеет ровно два ре­ше­ния. Но оно имеет или одно ре­ше­ние левая круг­лая скоб­ка b не равно 0 пра­вая круг­лая скоб­ка или бес­ко­неч­но много ре­ше­ний левая круг­лая скоб­ка b=0 пра­вая круг­лая скоб­ка .

ДРУ­ГОЕ РЕ­ШЕ­НИЕ: Пред­по­ло­жим, что най­дет­ся такое a, что урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка ax пра­вая круг­лая скоб­ка =f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка имеет ровно два ре­ше­ния x_2 и x_1, x_2 боль­ше x_1. Пусть, на­при­мер, a боль­ше 1 (a=1, оче­вид­но, не под­хо­дит, но для 0 мень­ше a мень­ше 1 можно про­ве­сти ана­ло­гич­ное рас­суж­де­ние). Ясно, что ax_2 боль­ше x_2, ax_1 боль­ше x_1. Но поль­зу­ясь про­ве­ден­ным ис­сле­до­ва­ни­ем на мо­но­тон­ность, за­клю­ча­ем, что ax_2 боль­ше ax_1 боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше x_2 боль­ше x_1. Но тогда f левая круг­лая скоб­ка ax_2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше f левая круг­лая скоб­ка ax_1 пра­вая круг­лая скоб­ка =f левая круг­лая скоб­ка x_1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше f левая круг­лая скоб­ка x_2 пра­вая круг­лая скоб­ка  — про­ти­во­ре­чие.

 

Ответ: а) левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ;2 пра­вая круг­лая скоб­ка ; б) левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; в) на левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка функ­ция убы­ва­ет; на левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка  — воз­рас­та­ет; г) не су­ще­ству­ет.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1826

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 1996 год, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ис­сле­до­ва­ние функ­ций, Ло­га­риф­ми­че­ские не­ра­вен­ства, Ло­га­риф­ми­че­ские урав­не­ния и си­сте­мы, Урав­не­ния с па­ра­мет­ром
?
Сложность: 9 из 10
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025