Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1804

2. Дана функция  f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\log _2x умножить на \log _2 левая круглая скобка 4x правая круглая скобка .

а) Решите неравенство  f левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше 3.

б) Решите уравнение  f левая круглая скобка x правая круглая скобка =|f левая круглая скобка 4x правая круглая скобка |.

в) Найдите промежутки монотонности функции  f левая круглая скобка x правая круглая скобка .

г) Выясните, существует ли такое положительное число a, что уравнение  f левая круглая скобка x правая круглая скобка =f левая круглая скобка ax правая круглая скобка имеет ровно два решения.

Спрятать решение

Решение.

а) Преобразуем: f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\log в квадрате _2 x умножить на плюс 2 логарифм по основанию 2 x. Обозначая t= логарифм по основанию 2 x, получаем неравенство t в квадрате плюс 2t минус 3 меньше 0. Отсюда:  минус 3 меньше t меньше 1. Теперь решим неравенство  минус 3 меньше логарифм по основанию 2 x меньше 1 равносильно логарифм по основанию целая часть: 2, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 8 меньше логарифм по основанию 2 x меньше логарифм по основанию 2 2\underset2 больше 1\mathop равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби меньше x меньше 2.

б) Имеем уравнение  логарифм по основанию 2 x умножить на логарифм по основанию 2 4x=| логарифм по основанию 2 4x умножить на логарифм по основанию 2 16x|. Решая уравнения логарифм по основанию 2 4x=0,  логарифм по основанию 2 x= логарифм по основанию 2 16x,  логарифм по основанию 2 x= минус логарифм по основанию 2 16x, получаем ответ: x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .

в) Исследуем функцию y=t в квадрате плюс 2t. Она, очевидно, убывает на луче  левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая квадратная скобка и возрастает на луче  левая квадратная скобка минус 1; плюс бесконечность правая круглая скобка . Т. к. функция t= логарифм по основанию 2 x возрастает на луче  левая круглая скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка и  логарифм по основанию 2 x= минус 1 при x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , имеем ответ: функция f на промежутке  левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка убывает, а на луче  левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка  — возрастает.

г) Введем функцию f левая круглая скобка ax правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 в квадрате x плюс 2 логарифм по основанию 2 a умножить на логарифм по основанию 2 x плюс 2 логарифм по основанию 2 x плюс 2 логарифм по основанию 2 a плюс логарифм по основанию 2 в квадрате a. Обозначим t= логарифм по основанию 2 x и b= логарифм по основанию 2 a. Достаточно выяснить, существует ли такое число b, что уравнение t в квадрате плюс 2bt плюс 2t плюс 2b плюс b в квадрате =t в квадрате плюс 2t имеет ровно два решения. Но оно имеет или одно решение  левая круглая скобка b не равно 0 правая круглая скобка или бесконечно много решений  левая круглая скобка b=0 правая круглая скобка .

ДРУГОЕ РЕШЕНИЕ: Предположим, что найдется такое a, что уравнение f левая круглая скобка ax правая круглая скобка =f левая круглая скобка x правая круглая скобка имеет ровно два решения x_2 и x_1, x_2 больше x_1. Пусть, например, a больше 1 (a=1, очевидно, не подходит, но для 0 меньше a меньше 1 можно провести аналогичное рассуждение). Ясно, что ax_2 больше x_2, ax_1 больше x_1. Но пользуясь проведенным исследованием на монотонность, заключаем, что ax_2 больше ax_1 больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби больше x_2 больше x_1. Но тогда f левая круглая скобка ax_2 правая круглая скобка больше f левая круглая скобка ax_1 правая круглая скобка =f левая круглая скобка x_1 правая круглая скобка больше f левая круглая скобка x_2 правая круглая скобка  — противоречие.

 

Ответ: а)  левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби ;2 правая круглая скобка ; б)  левая фигурная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая фигурная скобка ; в) на  левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка функция убывает; на  левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка  — возрастает; г) не существует.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1826

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 1996 год, вариант 1
? Классификатор: Исследование функций, Логарифмические неравенства, Логарифмические уравнения и системы, Уравнения с параметром
?
Сложность: 9 из 10