PDF-версии: 
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями 
и 
Решение. Будем считать независимой переменой y. Тогда построим график функции 
и проведем прямые и 
в координатной плоскости yOx (см. рис.). Обозначим площадь искомой фигуры через S:
Другое решение.
Первое уравнение дает 
Эта линия пересекает прямые 
в точках 
и 
Область изображена на рисунке. она состоит из прямоугольника с вершинами 
(его площадь 2) и криволинейного четырехугольника площадью
Окончательный ответ 
Ответ: 4.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
и 
и 
для кубической параболы 
Имеет место совпадение ординат. Точка C — точка пересечения графиков 
и 
При x = 3 получим, с одной стороны, 
с другой стороны, 
выполняется 
и 
Таким образом, фигура, площадь которой мы ищем, ограничена прямыми x = 0 и x = π и графиками функций 
и 
расположенными так, что при 
выполняется 
В этом случае искомая площадь равна 
симметричен относительно точки 
— середины отрезка [0; π]. Пусть 
Тогда
а это и означает, что график центрально-симметричен относительно точки 
Отсюда следует, что фигура AFGM равна фигуре BLKM (см. рис.), в частности, равны площади этих фигур. В итоге получаем, что искомая площадь заданной фигуры равна площади криволинейной трапеции AECB
и 
и 
Найдем точку их пересечения
поэтому область симметрична относительно прямой 
и можно искать только площадь под графиком 
на промежутке 
а затем удвоить ее. Поэтому площадь области равна 
y = 2.
определена только при 
а функция 
— только при 
При этом при x = 0 они обе определены и дают 0. Прямую y = 2 они пересекают при x = 4 и x = −2 соответственно. 
и 
при 
и 
при 
Приравняем обе части, получим
не имеет корней. Нетрудно видеть, что 
действительно является корнем уравнения 
при 
и под графиком 
Получаем
и 
При 
получаем 
откуда 
получаем 
откуда 
получаем 
откуда 
например 
Тогда 
следовательно, на данном отрезке график функции 
проходит ниже графика функции 
Теперь вычислим площадь:
и 
общие точки 
и 
вычисляем
и 
и 
а также график уравнения 
при 
и 
имеют единственную общую точку B. Рассматривая графики, можно предположить, что ее абсцисса равна 2. Убедимся, что точка 
является общей точкой двух рассматриваемых графиков.
— верное неравенство.
— верное неравенство.
Имеем: 
—
а на отрезке 
то площадь запишется как
и 
(положительный корень). В последнем случае можно, «угадав» корень x=2, использовать различие монотонности функций 
и 
состоит из двух частей — 
при 
(и, значит, при 
) и 
при 
(и, значит, при 
). Найдем точки пересечения эти прямых с параболой 
а сверху — прямой 
при 
и параболой при 
Проведем отрезок прямой x = 1, который разобьет нашу область на две. Левая — треугольник с (вертикальным) основанием 2 и высотой 1, поэтому его площадь 1. Значит,
