Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 5091
i

Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми: y=0, y=x в квад­ра­те минус 6x плюс 9, y=x в квад­ра­те плюс 4x плюс 4.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку

x в квад­ра­те минус 6x плюс 9= левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те и x в квад­ра­те плюс 4x плюс 4= левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те ,

ука­зан­ные в усло­вии гра­фи­ки функ­ций  — па­ра­бо­лы, ка­са­ю­щи­е­ся оси абс­цисс в точ­ках  левая круг­лая скоб­ка 3; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка и  левая круг­лая скоб­ка минус 2; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка . Най­дем точку их пе­ре­се­че­ния

x в квад­ра­те минус 6x плюс 9=x в квад­ра­те плюс 4x плюс 4 рав­но­силь­но 10x=5 рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

За­ме­тим, что вер­ши­ны па­ра­бол сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но точки  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка , по­это­му об­ласть сим­мет­рич­на от­но­си­тель­но пря­мой x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби и можно ис­кать толь­ко пло­щадь под гра­фи­ком y= левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те на про­ме­жут­ке  левая круг­лая скоб­ка минус 2; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , а затем удво­ить ее. По­это­му пло­щадь об­ла­сти равна

2 при­над­ле­жит t пре­де­лы: от минус 2 до дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те dx=2\dvpod дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе минус 2 дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =2 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 5 в кубе , зна­ме­на­тель: 2 в кубе конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 0 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 125, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 125, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби = целая часть: 10, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 12 .

Ответ:  целая часть: 10, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 12 .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1977 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей
?
Сложность: 8 из 10