Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2550

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x плюс 1, y = 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x и y = 1 минус левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в кубе .

Спрятать решение

Решение.

Изобразим заданную фигуру (см. рис.). Координаты точек A, B и C можно определить, используя рисунок. Так координаты точки A(0; 1), точки B(1; 2), точки C(3; 0).

Например, проверим: B — точка пересечения графиков y = x плюс 1 и y = 1 минус левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в кубе . При x = 1: для прямой получим y_B = 1 плюс 1 =2; для кубической параболы y_B = 1 минус левая круглая скобка 1 минус 2 правая круглая скобка в кубе = 2. Имеет место совпадение ординат. Точка C — точка пересечения графиков y = 1 минус левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в кубе и y = 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x. При x = 3 получим, с одной стороны, y_C = 1 минус левая круглая скобка 3 минус 2 правая круглая скобка в кубе = 0, с другой стороны, y_C = 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 3 = 0.

Площадь заданной фигуры будем искать как разность площадей фигуры OABC и треугольника AOC. В свою очередь посчитаем площадь фигуры OABC посчитаем как сумму площадей трапеции OABD и фигуры DBC.

Для трапеции OABD

S = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка AO плюс BD правая круглая скобка умножить на OD = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на левая круглая скобка 1 плюс 2 правая круглая скобка умножить на 1 = 1,5.

Для треугольника OAC

S = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби OC умножить на OA = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 3 умножить на 1 = 1,5.

Для фигуры DBC

 S = интеграл от 1 до 3 левая круглая скобка 1 минус левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в кубе правая круглая скобка dx = левая круглая скобка x минус дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в степени 4 , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка | от 1 до 3 = левая круглая скобка 3 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка минус левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка = 2.

Для площади заданной фигуры S = S_OABD плюс S_DBC минус S_OAC = 2.

 

Ответ: 2.

 

Замечание. Для решения данной задачи применим также способ, рассмотренный при решении задания № 3  второго варианта.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2556

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1993 год, работа 2, вариант 1
? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей
?
Сложность: 7 из 10