Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2550
i

Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми y = x плюс 1, y = 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби x и y = 1 минус левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Изоб­ра­зим за­дан­ную фи­гу­ру (см. рис.). Ко­ор­ди­на­ты точек A, B и C можно опре­де­лить, ис­поль­зуя ри­су­нок. Так ко­ор­ди­на­ты точки A(0; 1), точки B(1; 2), точки C(3; 0).

На­при­мер, про­ве­рим: B  — точка пе­ре­се­че­ния гра­фи­ков y = x плюс 1 и y = 1 минус левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе . При x  =  1: для пря­мой по­лу­чим y_B = 1 плюс 1 =2; для ку­би­че­ской па­ра­бо­лы y_B = 1 минус левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе = 2. Имеет место сов­па­де­ние ор­ди­нат. Точка C  — точка пе­ре­се­че­ния гра­фи­ков y = 1 минус левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе и y = 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби x. При x  =  3 по­лу­чим, с одной сто­ро­ны, y_C = 1 минус левая круг­лая скоб­ка 3 минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе = 0, с дру­гой сто­ро­ны, y_C = 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 3 = 0.

Пло­щадь за­дан­ной фи­гу­ры будем ис­кать как раз­ность пло­ща­дей фи­гу­ры OABC и тре­уголь­ни­ка AOC. В свою оче­редь по­счи­та­ем пло­щадь фи­гу­ры OABC по­счи­та­ем как сумму пло­ща­дей тра­пе­ции OABD и фи­гу­ры DBC.

Для тра­пе­ции OABD

S = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка AO плюс BD пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на OD = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 1 плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 1 = 1,5.

Для тре­уголь­ни­ка OAC

S = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби OC умно­жить на OA = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 3 умно­жить на 1 = 1,5.

Для фи­гу­ры DBC

 S = ин­те­грал пре­де­лы: от 1 до 3, левая круг­лая скоб­ка 1 минус левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе пра­вая круг­лая скоб­ка dx = левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни 4 , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка | пре­де­лы: от 1 до 3, = левая круг­лая скоб­ка 3 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = 2.

Для пло­ща­ди за­дан­ной фи­гу­ры S = S_OABD плюс S_DBC минус S_OAC = 2.

 

Ответ: 2.

 

За­ме­ча­ние. Для ре­ше­ния дан­ной за­да­чи при­ме­ним также спо­соб, рас­смот­рен­ный при ре­ше­нии за­да­ния № 3  вто­ро­го ва­ри­ан­та.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2556

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1993 год, ра­бо­та 2, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей
?
Сложность: 7 из 10