Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4646

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями x|y|=1, y=e, y= минус e, x=0 и x=1.

Спрятать решение

Решение.

Будем считать независимой переменой y. Тогда построим график функции x= дробь: числитель: 1, знаменатель: |y| конец дроби и проведем прямые y=e, y= минус e, x=0 и x=1 в координатной плоскости yOx (см. рис.). Обозначим площадь искомой фигуры через S:

S=2S_OAPQN=2(S_OAPK плюс S_KPQN)=2 левая круглая скобка 1 плюс принадлежит t \limits_1 в степени (e) дробь: числитель: 1, знаменатель: y конец дроби dx правая круглая скобка =2 левая круглая скобка 1 плюс \left. \vphantom дробь: числитель: 0, знаменатель: 0 конец дроби \ln y | \limits_1 в степени (e) правая круглая скобка =4.

 

Другое решение.

Первое уравнение дает y=\pm дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби . Эта линия пересекает прямые y=\pm e в точках  левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: e конец дроби ; e правая круглая скобка и  левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: e конец дроби ; минус e правая круглая скобка . Область изображена на рисунке. она состоит из прямоугольника с вершинами (0; e),  левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: e конец дроби ; e правая круглая скобка ,  левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: e конец дроби ; минус e правая круглая скобка , (0; минус e) (его площадь 2) и криволинейного четырехугольника площадью

 принадлежит t\limits_ дробь: числитель: 1, знаменатель: e конец дроби в степени 1 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби минус левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка dx= принадлежит t\limits_ дробь: числитель: 1, знаменатель: e конец дроби в степени 1 левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка dx=\dvpod2\lnx дробь: числитель: 1, знаменатель: e конец дроби 1=0 минус ( минус 2)=2.

Окончательный ответ 2 плюс 2=4.

 

Ответ: 4.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4652

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РСФСР, 1991 год, работа 5, вариант 1
? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей
?
Сложность: 7 из 10