Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4646
i

Вы­чис­ли­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми x|y|=1, y=e, y= минус e, x=0 и x=1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Будем счи­тать не­за­ви­си­мой пе­ре­ме­ной y. Тогда по­стро­им гра­фик функ­ции x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: |y| конец дроби и про­ве­дем пря­мые y=e, y= минус e, x=0 и x=1 в ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти yOx (см. рис.). Обо­зна­чим пло­щадь ис­ко­мой фи­гу­ры через S:

S=2S_OAPQN=2 левая круг­лая скоб­ка S_OAPK плюс S_KPQN пра­вая круг­лая скоб­ка =2 левая круг­лая скоб­ка 1 плюс ин­те­грал пре­де­лы: от 1 до e, дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: y конец дроби dx пра­вая круг­лая скоб­ка =2 левая круг­лая скоб­ка 1 плюс на­ту­раль­ный ло­га­рифм y | пре­де­лы: от 1 до e, пра­вая круг­лая скоб­ка =4.

 

Дру­гое ре­ше­ние.

Пер­вое урав­не­ние дает y=\pm дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби . Эта линия пе­ре­се­ка­ет пря­мые y=\pm e в точ­ках  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: e конец дроби ; e пра­вая круг­лая скоб­ка и  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: e конец дроби ; минус e пра­вая круг­лая скоб­ка . Об­ласть изоб­ра­же­на на ри­сун­ке. она со­сто­ит из пря­мо­уголь­ни­ка с вер­ши­на­ми  левая круг­лая скоб­ка 0; e пра­вая круг­лая скоб­ка ,  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: e конец дроби ; e пра­вая круг­лая скоб­ка ,  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: e конец дроби ; минус e пра­вая круг­лая скоб­ка ,  левая круг­лая скоб­ка 0; минус e пра­вая круг­лая скоб­ка (его пло­щадь 2) и кри­во­ли­ней­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка пло­ща­дью

 при­над­ле­жит t\limits_ дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: e конец дроби в сте­пе­ни 1 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби минус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка dx= при­над­ле­жит t\limits_ дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: e конец дроби в сте­пе­ни 1 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: x конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка dx=\dvpod2\lnx дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: e конец дроби 1=0 минус левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =2.

Окон­ча­тель­ный ответ 2 плюс 2=4.

 

Ответ: 4.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 4652

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1991 год, ра­бо­та 5, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей
?
Сложность: 7 из 10