Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2467
i

Вы­чис­ли­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми y= дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: |x плюс 1| конец дроби и y=3 минус |3 минус x|.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Най­дем сна­ча­ла точки пе­ре­се­че­ния линий. Решим урав­не­ние  дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: \absx плюс 1 конец дроби =3 минус \abs3 минус x. При x мень­ше минус 1 по­лу­ча­ем  дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: минус x минус 1 конец дроби =3 минус левая круг­лая скоб­ка 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка , от­ку­да

 минус дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: x плюс 1 конец дроби =x рав­но­силь­но минус 6=x левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но x в квад­ра­те плюс x плюс 6=0.

Это урав­не­ние не имеет кор­ней.

При x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1;3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка по­лу­ча­ем  дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: x плюс 1 конец дроби =3 минус левая круг­лая скоб­ка 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка , от­ку­да  дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: x плюс 1 конец дроби =x,

6=x левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но x в квад­ра­те плюс x минус 6=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=2,x=3. конец со­во­куп­но­сти .

Под­хо­дит толь­ко x=2.

При x боль­ше 3 по­лу­ча­ем  дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: x плюс 1 конец дроби =3 минус левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка , от­ку­да

 дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: x плюс 1 конец дроби =6 минус x рав­но­силь­но 6= левая круг­лая скоб­ка 6 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но 6=6x минус x в квад­ра­те плюс 6 минус x рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 5x=0 рав­но­силь­но x левая круг­лая скоб­ка x минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=0,x=5. конец со­во­куп­но­сти .

Под­хо­дит толь­ко x=5.

Возь­мем про­из­воль­ное x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 2;5 пра­вая круг­лая скоб­ка , на­при­мер x=4. Тогда  дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: \absx плюс 1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше 2=3 минус \abs3 минус 4, сле­до­ва­тель­но, на дан­ном от­рез­ке гра­фик функ­ции y= дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: \absx плюс 1 конец дроби про­хо­дит ниже гра­фи­ка функ­ции y=3 минус \abs3 минус x. Те­перь вы­чис­лим пло­щадь:

S= при­над­ле­жит t\limits_2 в сте­пе­ни 5 левая круг­лая скоб­ка 3 минус \abs3 минус x минус дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: \absx плюс 1 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка dx= при­над­ле­жит t\limits_2 в сте­пе­ни 5 левая круг­лая скоб­ка 3 минус дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: x плюс 1 конец дроби минус \abs3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка dx= = при­над­ле­жит t\limits_2 в сте­пе­ни 5 левая круг­лая скоб­ка 3 минус дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: x плюс 1 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка dx минус при­над­ле­жит t\limits_2 в сте­пе­ни 5 \abs3 минус xdx= \dvpod3x минус 6\ln левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка 25 минус при­над­ле­жит t\limits_2 в кубе \abs3 минус xdx минус

 минус при­над­ле­жит t\limits_3 в сте­пе­ни 5 \abs3 минус xdx= 15 минус 6 на­ту­раль­ный ло­га­рифм 6 минус 6 плюс 6 на­ту­раль­ный ло­га­рифм 3 минус при­над­ле­жит t\limits_2 в кубе левая круг­лая скоб­ка 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка dx минус при­над­ле­жит t\limits_3 в сте­пе­ни 5 левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка dx=

9 минус 6 левая круг­лая скоб­ка \ln6 минус \ln3 пра­вая круг­лая скоб­ка минус \dvpod3x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те 23 минус \dvpod дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те минус 3x35=
= 9 минус 6 на­ту­раль­ный ло­га­рифм дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус левая круг­лая скоб­ка 9 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 9 минус 6 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 4 пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 25 минус 15 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 9 плюс 9 пра­вая круг­лая скоб­ка =

 9 минус 6 на­ту­раль­ный ло­га­рифм 2 минус левая круг­лая скоб­ка 9 минус 4,5 минус 6 плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка 12,5 минус 15 минус 4,5 плюс 9 пра­вая круг­лая скоб­ка =9 минус 6 на­ту­раль­ный ло­га­рифм 2 минус 0,5 минус 2=6,5 минус 6 на­ту­раль­ный ло­га­рифм 2.

 

Ответ: 6,5 минус 6 на­ту­раль­ный ло­га­рифм 2.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2473

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1991 год, ра­бо­та 3, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей
?
Сложность: 8 из 10