Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2206

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y= минус 0,5x в квадрате плюс 7,5 и x=|y минус 6|.

Спрятать решение

Решение.

Линия x=\absy минус 6 состоит из двух частей — x=y минус 6, y=x плюс 6 при y больше или равно 6 (и, значит, при x больше или равно 0) и x=6 минус y, y=6 минус x при y меньше 6 (и, значит, при x больше 0). Найдем точки пересечения эти прямых с параболой y= минус 0,5x в квадрате плюс 7,5:

 минус 0,5x в квадрате плюс 7,5=x плюс 6 равносильно минус 0,5x в квадрате минус x плюс 1,5=0 равносильно

 равносильно минус x в квадрате минус 2x плюс 3=0 равносильно x в квадрате плюс 2x минус 3=0 равносильно (x минус 1)(x плюс 3)=0 равносильно совокупность выражений x=1,x= минус 3(неподходит), конец совокупности .

 минус 0,5x в квадрате плюс 7,5=6 минус x равносильно минус 0,5x в квадрате плюс x плюс 1,5=0 равносильно

 равносильно минус x в квадрате плюс 2x плюс 3=0 равносильно x в квадрате минус 2x минус 3=0 равносильно (x минус 3)(x плюс 1)=0 равносильно совокупность выражений x=3,x= минус 1(неподходит). конец совокупности .

Из рисунка видно, что область ограничена снизу прямой y=6 минус x, а сверху — прямой y=6 плюс x при x принадлежит [0;1] и параболой при x принадлежит [1;3]. Проведем отрезок прямой x = 1, который разобьет нашу область на две. Левая — треугольник с (вертикальным) основанием 2 и высотой 1, поэтому его площадь 1. Значит,

S=1 плюс принадлежит t\limits_13 левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате плюс 7,5 минус (6 минус x) правая круглая скобка dx=1 плюс принадлежит t\limits_13 левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате плюс 7,5 минус 6 плюс x правая круглая скобка dx=
=1 плюс принадлежит t\limits_13 левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате плюс x плюс 1,5 правая круглая скобка dx= 1 плюс \left. левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби x в кубе плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате плюс 1,5x правая круглая скобка |_1 в кубе =

=1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби умножить на 27 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 9 плюс 1,5 умножить на 3 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби минус 1,5=1 минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби плюс 4,5 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби минус 2=3,5 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби = целая часть: 3, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 3 .

Ответ:  целая часть: 3, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 3 .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2211

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РСФСР, 1983 год, работа 3, вариант 1
? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей
?
Сложность: 9 из 10