Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2206
i

Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми y= минус 0,5x в квад­ра­те плюс 7,5 и x=|y минус 6|.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Линия x=\absy минус 6 со­сто­ит из двух ча­стей  — x=y минус 6, y=x плюс 6 при y боль­ше или равно 6 (и, зна­чит, при x боль­ше или равно 0) и x=6 минус y, y=6 минус x при y мень­ше 6 (и, зна­чит, при x боль­ше 0). Най­дем точки пе­ре­се­че­ния эти пря­мых с па­ра­бо­лой y= минус 0,5x в квад­ра­те плюс 7,5:

 минус 0,5x в квад­ра­те плюс 7,5=x плюс 6 рав­но­силь­но минус 0,5x в квад­ра­те минус x плюс 1,5=0 рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но минус x в квад­ра­те минус 2x плюс 3=0 рав­но­силь­но x в квад­ра­те плюс 2x минус 3=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=1,x= минус 3 левая круг­лая скоб­ка не­под­хо­дит пра­вая круг­лая скоб­ка , конец со­во­куп­но­сти .

 минус 0,5x в квад­ра­те плюс 7,5=6 минус x рав­но­силь­но минус 0,5x в квад­ра­те плюс x плюс 1,5=0 рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но минус x в квад­ра­те плюс 2x плюс 3=0 рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 2x минус 3=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=3,x= минус 1 левая круг­лая скоб­ка не­под­хо­дит пра­вая круг­лая скоб­ка . конец со­во­куп­но­сти .

Из ри­сун­ка видно, что об­ласть огра­ни­че­на снизу пря­мой y=6 минус x, а свер­ху  — пря­мой y=6 плюс x при x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0;1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и па­ра­бо­лой при x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 1;3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Про­ве­дем от­ре­зок пря­мой x  =  1, ко­то­рый разо­бьет нашу об­ласть на две. Левая  — тре­уголь­ник с (вер­ти­каль­ным) ос­но­ва­ни­ем 2 и вы­со­той 1, по­это­му его пло­щадь 1. Зна­чит,

S=1 плюс при­над­ле­жит t\limits_13 левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те плюс 7,5 минус левая круг­лая скоб­ка 6 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка dx=1 плюс при­над­ле­жит t\limits_13 левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те плюс 7,5 минус 6 плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка dx=
=1 плюс при­над­ле­жит t пре­де­лы: от 1}3 левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те плюс x плюс 1,5 пра­вая круг­лая скоб­ка dx= 1 плюс левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби x в кубе плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те плюс 1,5x пра­вая круг­лая скоб­ка |_{1 до 3, =

=1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби умно­жить на 27 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 9 плюс 1,5 умно­жить на 3 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 1,5=1 минус дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 4,5 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби минус 2=3,5 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби = целая часть: 3, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 .

Ответ:  целая часть: 3, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2211

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1983 год, ра­бо­та 3, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей
?
Сложность: 9 из 10