№ 2563 
Выпускные экзамены по математике для школ России. Углубленная программа. 23. Интеграл: площадь -- сумма площадей
i
Решение. Изобразим заданную фигуру, для чего построим графики функций 
и 
а также график уравнения 
Последний может быть построен как график функции 
при 
Найдем абсциссы точек A, B и C. Для этого используем построенные графики. Из рисунка определяем, что абсцисса точки A равна −2. В этом необходимо убедиться, подставив −2 вместо x в уравнение
Графики 
и 
имеют единственную общую точку B. Рассматривая графики, можно предположить, что ее абсцисса равна 2. Убедимся, что точка 
является общей точкой двух рассматриваемых графиков.
Для 
— верное неравенство.
Для 
— верное неравенство.
Убедимся, что абсцисса точки C равна 3, для чего достаточно проверить, что 3 является корнем уравнения 
Имеем: 
— верное равенство. Искомую площадь целесообразно вычислять как сумму площадей фигур ABD и CBD. Так как на отрезке 
а на отрезке 
то площадь запишется как
Ответ: 
Замечания.
1. При вычислении асбcцисс точек A, B и C можно было воспользоваться и алгебраическими методами. В этом случае пришлось бы искать корни уравнений 
и 
(положительный корень). В последнем случае можно, «угадав» корень x=2, использовать различие монотонности функций и при 
2. При поиске корней уравнения «по графику» необходимо делать их проверку. Отсутствие таковой является существенным недочетом в работе.
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: Задание парного варианта: 2569
и