РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 2658

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями $y=4 плюс синус x,$ $y= синус 2x плюс косинус x,$ $x=0$ и $x= Пи .$

Решение.

I способ. При любых $x принадлежит левая квадратная скобка 0; Пи правая квадратная скобка$ выполняется $4 плюс синус x больше или равно 4$ и $синус 2x плюс косинус x меньше или равно 2.$ Таким образом, фигура, площадь которой мы ищем, ограничена прямыми x  =  0 и x  =  π и графиками функций $y = 4 плюс синус x$ и $y = синус 2x плюс косинус x,$ расположенными так, что при $x принадлежит левая квадратная скобка 0; Пи правая квадратная скобка$ выполняется $4 плюс синус x больше синус 2x плюс косинус x.$ В этом случае искомая площадь равна

$интеграл пределы: от 0 до Пи , левая круглая скобка левая круглая скобка 4 плюс синус x правая круглая скобка минус левая круглая скобка синус 2x плюс косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка dx = левая круглая скобка 4x минус косинус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби косинус 2x минус синус x правая круглая скобка | пределы: от 0 до Пи , =$ $интеграл пределы: от 0 до Пи , левая круглая скобка левая круглая скобка 4 плюс синус x правая круглая скобка минус левая круглая скобка синус 2x плюс косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка dx =$
$= левая круглая скобка 4x минус косинус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби косинус 2x минус синус x правая круглая скобка | пределы: от 0 до Пи , =$

$= левая круглая скобка 4 Пи плюс 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс 0 правая круглая скобка минус левая круглая скобка минус 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = 4 Пи плюс 2.$

Ответ: $4 Пи плюс 2.$

II способ. Как и в предыдущем способе получаем, что фигура ограничена прямыми x  =  0 и x  =  π и графиками функций $y = 4 плюс синус x$ и $y = синус 2x плюс косинус x,$ расположенными так, что при $x принадлежит левая квадратная скобка 0; Пи правая квадратная скобка$ выполняется $4 плюс синус x больше синус 2x плюс косинус x.$

Покажем, что графику функции $y = синус 2x плюс косинус x$ симметричен относительно точки $M левая круглая скобка дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 2; 0 правая круглая скобка$   — середины отрезка [0; π]. Пусть $t принадлежит левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 2 правая квадратная скобка .$ Тогда

$y левая круглая скобка дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 2 минус t правая круглая скобка = синус левая круглая скобка Пи минус 2t правая круглая скобка плюс косинус левая круглая скобка дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 2 минус t правая круглая скобка = синус 2t плюс синус t,$

$y левая круглая скобка дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 2 плюс t\rgiht правая круглая скобка = синус левая круглая скобка Пи плюс 2t правая круглая скобка плюс косинус левая круглая скобка дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 2 плюс t правая круглая скобка = минус синус 2t минус синус t,$

т. е. $y левая круглая скобка дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 2 t правая круглая скобка = минус y левая круглая скобка дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 2 плюс t правая круглая скобка ,$ а это и означает, что график центрально-симметричен относительно точки $M левая круглая скобка дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 2; 0 правая круглая скобка .$ Отсюда следует, что фигура AFGM равна фигуре BLKM (см. рис.), в частности, равны площади этих фигур. В итоге получаем, что искомая площадь заданной фигуры равна площади криволинейной трапеции AECB

$S_AECB = интеграл пределы: от 0 до Пи , левая круглая скобка 4 плюс синус x правая круглая скобка dx = 4 Пи плюс 2.$

Ответ: $4 Пи плюс 2.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 2664

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1995 год, работа 2, вариант 1

? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей

Сложность: 7 из 10

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь