Ре­ше­ние.

а)  Возь­мем про­из­вод­ную ис­ход­ной функ­ции.

При по­лу­ча­ем и по­это­му урав­не­ние ка­са­тель­ной имеет вид:

б)  Решим урав­не­ние:

Ясно, что при по­лу­чим от­ку­да и зна­чит, воз­рас­та­ет при и ана­ло­гич­но убы­ва­ет при по­это­му ее наи­мень­шее зна­че­ние это а наи­боль­шее либо либо По­лу­ча­ем, что наи­боль­шее зна­че­ние а наи­мень­шее

в)  Про­дол­жим ис­сле­до­вать функ­цию. Мы уже знаем, что она воз­рас­та­ет на и знаем, что по­это­му дру­гих кор­ней у нее нет. Она опре­де­ле­на при всех не­пре­рыв­на, асимп­тот не имеет. Оста­лось ис­сле­до­вать вы­пук­лость:

по­это­му функ­ция вы­пук­ла вниз на всем про­ме­жут­ке. Так как зна­чит, функ­ция при­ни­ма­ет все зна­че­ния из про­ме­жут­ка

г)  Ка­са­тель­ная пе­ре­се­ка­ет ось в такой точке, где то есть от­ку­да По­сколь­ку функ­ция вы­пук­ла вниз, ка­са­тель­ная лежит ниже гра­фи­ка функ­ции. Зна­чит, об­ласть огра­ни­че­на свер­ху гра­фи­ком функ­ции, а снизу на про­ме­жут­ке осью абс­цисс, а на про­ме­жут­ке   — ка­са­тель­ной. Опу­стим на ось пер­пен­ди­ку­ляр из точки Под ка­са­тель­ной об­ра­зу­ет­ся пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми 4 и по­это­му его пло­щадь равна По­счи­та­ем те­перь пло­щадь под гра­фи­ком функ­ции и вы­чтем пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

 

Ответ: а) б) -2,25 и 0 в) см. рис., г)

Ре­ше­ние.

а) При   — па­ра­бо­ла с вер­ши­ной при (эта точка не лежит в об­ла­сти и на гра­фи­ке не по­явит­ся).

При   — па­ра­бо­ла с вер­ши­ной при При можно поль­зо­вать­ся любой из фор­мул, Те­перь можно по­стро­ить гра­фик.

б)  Имеем:

Пер­вый ин­те­грал дает:

Вто­рой по­счи­та­ем из гео­мет­ри­че­ских со­об­ра­же­ний. Пло­щадь под гра­фи­ком на от­рез­ке от 3 до 5 со­сто­ит из пло­ща­дей двух рав­но­бед­рен­ных пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков с ка­те­том 1, по­это­му

в)  По­сколь­ку пря­мая не может ка­сать­ся па­ра­бо­лы в двух точ­ках, она долж­на ка­сать­ся каж­дой из двух па­ра­бол. Пусть ее урав­не­ние тогда урав­не­ния и долж­ны иметь по од­но­му корню. Зна­чит, дис­кри­ми­нан­ты урав­не­ний и долж­ны быть ну­ля­ми. По­лу­ча­ем:

Вы­чи­тая урав­не­ния друг из друга, по­лу­чим Тогда из пер­во­го урав­не­ния,

и урав­не­ние ка­са­тель­ной

Най­дем точки ка­са­ния, чтобы убе­дить­ся. что пря­мая ка­са­ет­ся нуж­ных ча­стей па­ра­бол. Пер­вое урав­не­ние пре­вра­тит­ся в и имеет ко­рень Вто­рое урав­не­ние пре­вра­тит­ся в и имеет ко­рень

г)  Ясно, что гра­фик функ­ции про­хо­дит выше ка­са­тель­ной. Зна­чит,

 

Ответ: а) см. рис.; б) в) г)

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что по­это­му все ее пер­во­об­раз­ные имеют вид

а)  Под­ста­вим в урав­не­ние точку По­лу­чим от­ку­да Итак, это

б)  Оче­вид­но опре­де­ле­на при всех и яв­ля­ет­ся чет­ной функ­ци­ей. При от­ку­да   — вер­ти­каль­ная асимп­то­та. Го­ри­зон­таль­ных и на­клон­ных асимп­тот нет, по­сколь­ку при боль­ших x функ­ция ведет себя при­мер­но как квад­ра­тич­ная функ­ция Ясно, что так что кор­ней у функ­ции нет.

Возь­мем ее про­из­вод­ную

Вос­поль­зо­вав­шись ме­то­дом ин­тер­ва­лов, по­лу­чим что при и при Зна­чит, функ­ция воз­рас­та­ет при и и убы­ва­ет при и Функ­ция имеет ми­ни­мум при

Возь­мем вто­рую про­из­вод­ную

по­это­му функ­ция вы­пук­ла вниз при и при

Оста­лось по­стро­ить гра­фик.

в)  Если яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной, то про­из­вод­ная в точке ка­са­ния равна −15. Решим урав­не­ние

Ясно, что одним из кор­ней яв­ля­ет­ся На­пи­шем урав­не­ние ка­са­тель­ной в точке

по­это­му урав­не­ние ка­са­тель­ной будет Со­шлось.

г)  Най­дем точку пе­ре­се­че­ния пря­мой с осью абс­цисс. Зна­чит, об­ласть огра­ни­че­на свер­ху гра­фи­ком функ­ции (функ­ция вы­пук­ла вниз, по­это­му ее гра­фик лежит выше ка­са­тель­ной), а снизу  — ка­са­тель­ной при и осью абс­цисс при Опу­стим из точки пер­пен­ди­ку­ляр на ось абс­цисс. По­лу­чим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми и пло­щадь ко­то­ро­го равна До­ба­вим к фи­гу­ре этот тре­уголь­ник и вы­чтем потом его пло­щадь из от­ве­та. Тогда по­лу­ча­ем

 

Ответ: а) б) см. рис.; в) да, яв­ля­ет­ся, в точке с абс­цис­сой г)

Ре­ше­ние.

Ис­ко­мая функ­ция опре­де­ле­на при и то есть при

а)  Возь­мем ее про­из­вод­ную:

Зна­ме­на­тель все­гда по­ло­жи­те­лен. Чис­ли­тель же по­ло­жи­те­лен в слу­чае то есть и от­ри­ца­те­лен при Зна­чит, функ­ция воз­рас­та­ет при и убы­ва­ет при

б)  Из пунк­та а) сле­ду­ет, что при всех по­сколь­ку По­это­му не­ра­вен­ство рав­но­силь­но усло­вию

Оста­лось изоб­ра­зить гра­фик функ­ции Мы уже почти все нужно для по­стро­е­ния гра­фи­ка узна­ли, оста­лось толь­ко вы­чис­лить зна­че­ние в точке мак­си­му­ма и ис­сле­до­вать вы­пук­лость. Возь­мем вто­рую про­из­вод­ную:

по­это­му функ­ция на всем про­ме­жут­ке вы­пук­ла вверх (см. рис.).

в)  По­сколь­ку гра­фик про­хо­дит выше пря­мой, по­лу­ча­ем

г)  Усло­вие рав­но­силь­но тому, что y лежит на от­рез­ке между a и но не­из­вест­но, какой из кон­цов мень­ший. Можно счи­тать, что мы вы­би­ра­ем точку с ко­ор­ди­на­та­ми в квад­ра­те Пло­щадь этого квад­ра­та 16, по­это­му пло­щадь фи­гу­ры, опи­сы­ва­е­мой усло­ви­ем долж­на быть равна 8.

Как мы уже знаем, при пло­щадь по­лу­ча­ет­ся Если умень­шать a, то к пло­ща­ди будет до­бав­лять­ся пря­мо­уголь­ник с го­ри­зон­таль­ной сто­ро­ной 4. Нам надо до­ба­вить зна­чит, его вер­ти­каль­ная сто­ро­на долж­на быть и Если же уве­ли­чи­вать a, то нам будут под­хо­дить не­ко­то­рые точки об­ла­сти (см ри­су­нок). Од­на­ко вся эта об­ласть - пря­мо­уголь­ник пло­ща­ди 4, по­это­му его часть не может дать фи­гу­ру пло­ща­ди 8.

Ответ:

 

Ответ: а) на функ­ция воз­рас­та­ет; на   — убы­ва­ет; б) см. рис.; в) г)

Ре­ше­ние.

а)  Возьмём про­из­вод­ную: при

б)  Ис­сле­ду­ем функ­цию f на мо­но­тон­ность: ясно, что функ­ция f воз­рас­та­ет на луче и на луче убы­ва­ет на про­ме­жут­ке и на про­ме­жут­ке

в)  Ясно, что пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной гра­фи­ком функ­ции f и пря­мы­ми равна ин­те­гра­лу Но эта пло­щадь за­ве­до­мо мень­ше пло­ща­ди пря­мо­уголь­ни­ка, об­ра­зо­ван­но­го пря­мы­ми Но эта пло­щадь равна

г)  До­ста­точ­но найти наи­мень­шее зна­че­ние ин­те­гра­ла при т. е. наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции

Най­дем про­из­вод­ную:

Но если или Ис­сле­ду­ем функ­цию g на луче Так как функ­ция g убы­ва­ет на про­ме­жут­ке и воз­рас­та­ет на луче то наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции g равно

 

ДРУ­ГОЕ РЕ­ШЕ­НИЕ: Срав­ним пло­щадь кри­во­ли­ней­ной тра­пе­ции, огра­ни­чен­ной гра­фи­ком функ­ции f и пря­мы­ми с пло­ща­дью кри­во­ли­ней­ной тра­пе­ции, огра­ни­чен­ной гра­фи­ком функ­ции f и пря­мы­ми на­при­мер, для За­ме­тим, что для всех и для лю­бо­го по­это­му ясно, что т. к. в рас­смат­ри­ва­е­мых фи­гу­рах (см. рис.) можно вы­де­лить общую часть ABCD и кри­во­ли­ней­ные тра­пе­ции MNBA и DCLP такие, что пло­щадь тра­пе­ции MNBA боль­ше пло­ща­ди тра­пе­ции DCLP

Рас­суж­дая ана­ло­гич­но, по­лу­чим, что при всех пло­ща­ди со­от­вет­ству­ю­щих кри­во­ли­ней­ных тра­пе­ций боль­ше, чем Таким об­ра­зом, оста­ет­ся найти зна­че­ние этого ин­те­гра­ла.

 

Ответ: 3Б. а) б) см. рис.; г)