Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1707

3А. Дана функция f(x)=x минус корень из (x плюс 2) .

а) Напишите уравнение касательной l к графику функции f в точке с абсциссой 7.

б) Найдите наименьшее и наибольшее значение функции f на отрезке [ минус 2; 2].

в) Постройте график функции f на отрезке [ минус 2; 8].

г) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f, касательной l и осью абсцисс.

Спрятать решение

Решение.

а) Возьмем производную исходной функции.

f'(x)=1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из (x плюс 2) конец дроби умножить на (x плюс 2)'=1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из (x плюс 2) конец дроби умножить на 1=1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из (x плюс 2) конец дроби .

При x=7 получаем f'(x)=1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 умножить на корень из (9) конец дроби =1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби и f(7)=7 минус корень из (9) =4, поэтому уравнение касательной имеет вид:

y= дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби (x минус 7) плюс 4 равносильно y= дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби x минус дробь: числитель: 35, знаменатель: 6 конец дроби плюс 4 равносильно y= дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби x минус дробь: числитель: 11, знаменатель: 6 конец дроби .

б) Решим уравнение:

1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из (x плюс 2) конец дроби =0 равносильно 2 корень из (x плюс 2) =1 равносильно корень из (x плюс 2) = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно x плюс 2= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно x= минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби .

Ясно, что при x больше минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби получим  корень из (x плюс 2) больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , откуда  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из (x плюс 2) конец дроби меньше 1 и f'(x) больше 0, значит, f(x) возрастает при x больше минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби и аналогично f(x) убывает при x принадлежит левая круглая скобка минус 2; минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка , поэтому ее наименьшее значение это f левая круглая скобка минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби минус корень из ( дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ) = минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби , а наибольшее либо f( минус 2)= минус 2 минус корень из (0) = минус 2, либо f(2)=2 минус корень из (4) =0. Получаем, что наибольшее значение f(2)=0, а наименьшее f левая круглая скобка минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби .

в) Продолжим исследовать функцию. Мы уже знаем, что она возрастает на  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби ; принадлежит fty правая круглая скобка и знаем, что f(2)=0, поэтому других корней у нее нет. Она определена при всех x принадлежит [ минус 2;8], непрерывна, асимптот не имеет. Осталось исследовать выпуклость:

f''(x)=(1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из (x плюс 2) конец дроби )'=(1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби (x плюс 2) в степени ( минус 1/2) )'=
= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на ( минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ) умножить на (x плюс 2) в степени ( минус 3/2) умножить на (x плюс 2)'= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби умножить на (x плюс 2) в степени ( минус 3/2) умножить на 1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби умножить на (x плюс 2) в степени ( минус 3/2) больше 0,

поэтому функция выпукла вниз на всем промежутке. Так как f(8)=8 минус корень из (10) , значит, функция принимает все значения из промежутка  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби ; 8 минус корень из (10) правая квадратная скобка .

г) Касательная пересекает ось в такой точке, где y=0, то есть  дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби x минус дробь: числитель: 11, знаменатель: 6 конец дроби =0, откуда x=2,2. Поскольку функция выпукла вниз, касательная лежит ниже графика функции. Значит, область ограничена сверху графиком функции, а снизу на промежутке [2;2,2] осью абсцисс, а на промежутке [2,2;7] — касательной. Опустим на ось перпендикуляр из точки (7;4). Под касательной образуется прямоугольный треугольник с катетами 4 и 7 минус 2,2=4,8, поэтому его площадь равна  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 4 умножить на 4,8=9,6. Посчитаем теперь площадь под графиком функции и вычтем площадь треугольника.

S= принадлежит t\limits_2 в степени (7) (x минус корень из (x плюс 2) )dx минус 9,6= принадлежит t\limits_2 в степени (7) (x минус (x плюс 2) в степени (1/2) )dx минус 9,6= \left. левая круглая скобка дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: (x плюс 2) в степени (3/2) , знаменатель: 3/2 конец дроби правая круглая скобка |_2 в степени 7 минус 9,6=
= \left. левая круглая скобка дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби (x плюс 2) в степени (3/2) правая круглая скобка |_2 в степени 7 минус 9,6= дробь: числитель: 49, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 9 в степени (3/2) минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 4 в степени (3/2) минус 9,6= целая часть: 24, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 27 минус 2 плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 8 минус 9,6=
= целая часть: 24, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 минус 18 минус 2 плюс дробь: числитель: 16}3 минус 9,6= целая часть: 4, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 плюс целая часть: 5, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3 минус 9,6= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби = дробь: числитель: 15 плюс 10 минус 18, знаменатель: 30 конец дроби = дробь: числитель: {, знаменатель: 7 конец дроби , знаменатель: 30 конец дроби

 

Ответ: а) y= дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби x минус дробь: числитель: 11, знаменатель: 6 конец дроби , б) -2,25 и 0 в) см. рис., г)  дробь: числитель: 7, знаменатель: 30 конец дроби (ед. в квадрате ).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1729

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 1992 год, вариант 1
? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей , Исследование функций, Касательная к графику функции, Построение графиков функций, графиков уравнений
?
Сложность: 9 из 10