3А. Дана функция 
а) Напишите уравнение касательной l к графику функции f в точке с абсциссой 7.
б) Найдите наименьшее и наибольшее значение функции f на отрезке 
в) Постройте график функции f на отрезке 
г) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f, касательной l и осью абсцисс.
а) Возьмем производную исходной функции.
При 
получаем 
и 
поэтому уравнение касательной имеет вид:
б) Решим уравнение:
Ясно, что при 
получим 
откуда 
и 
значит, 
возрастает при и аналогично убывает при 
поэтому ее наименьшее значение это 
а наибольшее либо 
либо 
Получаем, что наибольшее значение 
а наименьшее 
в) Продолжим исследовать функцию. Мы уже знаем, что она возрастает на
и знаем, что поэтому других корней у нее нет. Она определена при всех 
непрерывна, асимптот не имеет. Осталось исследовать выпуклость:
значит, функция принимает все значения из промежутка 
г) Касательная пересекает ось в такой точке, где 
то есть 
откуда 
Поскольку функция выпукла вниз, касательная лежит ниже графика функции. Значит, область ограничена сверху графиком функции, а снизу на промежутке 
осью абсцисс, а на промежутке 
— касательной. Опустим на ось перпендикуляр из точки 
Под касательной образуется прямоугольный треугольник с катетами 4 и 
поэтому его площадь равна 
Посчитаем теперь площадь под графиком функции и вычтем площадь треугольника.
Ответ: а) 
б) -2,25 и 0 в) см. рис., г) 
Задание парного варианта: 1729