Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1806

3Б. Дана функция  f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: x в квадрате минус x плюс 1, знаменатель: x конец дроби .

а)  Напишите уравнения касательных к графику функции  f левая круглая скобка x правая круглая скобка , параллельных оси абсцисс.

б)  Постройте график функции  f левая круглая скобка x правая круглая скобка на отрезке  левая квадратная скобка минус 3;3 правая квадратная скобка .

в)  Докажите, что  принадлежит t пределы: от 0,5 до 2, f левая круглая скобка x правая круглая скобка dx меньше дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби .

г)  Найдите наименьшее значение площади фигуры, ограниченной графиком функции  f левая круглая скобка x правая круглая скобка и прямыми  y=0,  x=a,  x=a плюс 1,5, для  a больше 0.

Спрятать решение

Решение.

а)  Возьмём производную: f' левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: x в квадрате минус 1, знаменатель: x конец дроби ; f' левая круглая скобка x правая круглая скобка =0 при x=\pm 1, f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =1, f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка = минус 3.

б)  Исследуем функцию f на монотонность: ясно, что функция f возрастает на луче  левая квадратная скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка и на луче  левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая квадратная скобка , убывает на промежутке  левая квадратная скобка минус 1; 0 правая круглая скобка и на промежутке  левая круглая скобка 0;1 правая квадратная скобка ;

f левая круглая скобка 3 правая круглая скобка = дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби ; f левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 13, знаменатель: 3 конец дроби .

в)  Ясно, что площадь фигуры, ограниченной графиком функции f и прямыми y=0, x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , x=2, равна интегралу  принадлежит t пределы: от 0,5 до 2, f левая круглая скобка x правая круглая скобка dx. Но эта площадь заведомо меньше площади прямоугольника, образованного прямыми y=0, y= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , x=2.  левая круглая скобка f левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ,f левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби привсехx принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 2 правая круглая скобка правая круглая скобка . Но эта площадь равна  дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби .

г)  Достаточно найти наименьшее значение интеграла  принадлежит t пределы: от a до a плюс 1,5, f левая круглая скобка x правая круглая скобка dx при a больше 0, т. е. наименьшее значение функции

g левая круглая скобка a правая круглая скобка = левая круглая скобка дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби минус x плюс натуральный логарифм x правая круглая скобка | пределы: от a до a плюс 1,5, = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби a минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби плюс натуральный логарифм левая круглая скобка a плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус натуральный логарифм a.

Найдем производную:

g' левая круглая скобка a правая круглая скобка = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: a плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби умножить на дробь: числитель: 2a в квадрате плюс 3a минус 2, знаменатель: a левая круглая скобка a плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка конец дроби .

Но 2a в квадрате плюс 3a минус 2=0, если a= минус 2 или a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . Исследуем функцию g на луче  левая круглая скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка . Так как функция g убывает на промежутке  левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка и возрастает на луче  левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка , то наименьшее значение функции g равно g левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби плюс натуральный логарифм 4.

 

ДРУГОЕ РЕШЕНИЕ: Сравним площадь S_1 криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f и прямыми x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , x=2, с площадью S_2 криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f и прямыми y=0, x=a, x=a плюс 1,5, например, для 0 меньше a меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . Заметим, что для всех x принадлежит левая квадратная скобка a; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка f левая круглая скобка x правая круглая скобка больше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби и для любого x принадлежит левая квадратная скобка a плюс 1,5; 2 правая квадратная скобка f левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , поэтому ясно, что S_2 больше S_1, т. к. в рассматриваемых фигурах (см. рис.) можно выделить общую часть ABCD и криволинейные трапеции MNBA и DCLP такие, что площадь трапеции MNBA больше площади трапеции DCLP  левая круглая скобка MA=PD правая круглая скобка .

Рассуждая аналогично, получим, что при всех a больше 0, a не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби площади соответствующих криволинейных трапеций больше, чем  принадлежит t пределы: от дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби до 2, f левая круглая скобка x правая круглая скобка dx. Таким образом, остается найти значение этого интеграла.

 

Ответ: 3Б. а)  y=1,  y= минус 3; б) см. рис.; г)  дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби плюс натуральный логарифм 4.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1828

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 1996 год, вариант 1
? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей , Касательная к графику функции, Построение графиков функций, графиков уравнений
?
Сложность: 9 из 10