3Б. Дана функция 
а) Постройте график функции 
б) Найдите значение 
в) Напишите уравнение прямой l, касающейся графика функции 
в двух различных точках.
г) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции и прямой l.
а) При
— парабола с вершиной при 
(эта точка не лежит в области 
и на графике не появится).
При 
— парабола с вершиной при 
При 
можно пользоваться любой из формул, 
Теперь можно построить график.
б) Имеем:
Второй интеграл дает: 
Первый посчитаем из геометрических соображений. Площадь под графиком 
на отрезке от 2 до 4 состоит из площадей двух равнобедренных прямоугольных треугольников с катетом 1, поэтому
в) Поскольку прямая не может касаться параболы в двух точках, она должна касаться каждой из двух парабол. Пусть ее уравнение 
тогда уравнения 
и 
должны иметь по одному корню. Значит, дискриминанты уравнений 
и 
должны быть нулями. Получаем
Вычитая уравнения друг из друга, получим 
Тогда из первого уравнения,
Найдем точки касания, чтобы убедиться. что прямая касается нужных частей парабол. Первое уравнение превратится в 
и имеет корень 
Второе уравнение превратится в 
и имеет корень 
г) Ясно, что график функции проходит ниже касательной. Значит,
Ответ: а) см. рис. ; б) 
в) 
г) 
Задание парного варианта: 1752