3Б. Дана функция 
а) Найдите первообразную функции 
на множестве 
график которой проходит через точку 
б) Постройте график функции 
в) Проверьте, является ли прямая l, заданная уравнением 
касательной к графику функции
г) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции 
осью абсцисс и прямыми l и 
Заметим, что все первообразные 
имеют вид 
а) Подставим в уравнение 
точку 
Получим 
откуда 
Итак, это 
б) Очевидно 
определена при всех 
и является нечетной функцией. При 
откуда 
— вертикальная асимптота. Горизонтальных и наклонных асимптот нет, поскольку при больших x функция ведет себя примерно как степенная функция 
Ясно, что 
при 
и 
при 
так что корней у функции нет.
Возьмем ее производную
Воспользовавшись методом интервалов, получим что 
при 
и 
при 
Значит, функция возрастает при 
и при 
и убывает при 
и 
Функция имеет минимум при 
и максимум при 
Возьмем вторую производную
и отрицательно при поэтому функция выпукла вниз при и вверх при 
Осталось построить график.
в) Если 
является касательной, то производная в точке касания равна 
Решим уравнение
Второй множитель корней не имеет, а первый имеет корни 
Напишем уравнение касательной в точке 
поэтому уравнение касательной будет
г) Найдем точку пересечения прямой 
с осью абсцисс. 
Значит, область ограничена сверху графиком функции (функция выпукла вниз, поэтому ее график лежит выше касательной), а снизу — касательной при 
и осью абсцисс при 
Опустим из точки 
перпендикуляр на ось абсцисс. Получим прямоугольный треугольник с катетами 
и 
площадь которого равна 
Добавим к фигуре этот треугольник и вычтем потом его площадь из ответа. Тогда получаем
Ответ: а) 
б) см. рис.; в) да, является, в точке с абсциссой 
г) 
Задание парного варианта: 1796