Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1729

3А. Дана функция f левая круглая скобка x правая круглая скобка = корень из x минус 1 минус x плюс 3.

а) Напишите уравнение касательной m к графику функции f в точке с абсциссой 2.

б) Найдите наименьшее и наибольшее значение функции f на отрезке  левая квадратная скобка 1; 5 правая квадратная скобка .

в) Постройте график функции f на отрезке  левая квадратная скобка 1; 7 правая квадратная скобка .

г) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f, касательной m и осью абсцисс.

Спрятать решение

Решение.

а) Возьмем ее производную.

f' левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из x минус 1 конец дроби умножить на левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка ' минус 1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из x минус 1 конец дроби умножить на 1 минус 1= минус 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из x минус 1 конец дроби ,

поэтому при x=2 получаем f' левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 умножить на корень из 1 конец дроби = минус 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби и f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка =1 минус 2 плюс 3=2, поэтому уравнение касательной имеет вид

y= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка плюс 2 равносильно y= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x плюс 1 плюс 2 равносильно y= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x плюс 3.

б) Решим уравнение.

 минус 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из x минус 1 конец дроби =0 равносильно 2 корень из x минус 1=1 равносильно корень из x минус 1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно x минус 1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно x= дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби .

Ясно, что при x больше дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби получим  корень из x минус 1 больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , откуда  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из x минус 1 конец дроби меньше 1 и f' левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше 0, значит, f левая круглая скобка x правая круглая скобка убывает при x больше дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби и аналогично f левая круглая скобка x правая круглая скобка возрастает при x принадлежит левая круглая скобка 1; дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка , поэтому ее наибольшее значение это f левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка = корень из дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби плюс 3= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби плюс 3= дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби , а наименьшее либо f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка = корень из 0 минус 1 плюс 3=2, либо f левая круглая скобка 5 правая круглая скобка = корень из 4 минус 5 плюс 3=0. Получаем, что наименьшее значение f левая круглая скобка 5 правая круглая скобка =0, а наибольшее f левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби .

в) Продолжим исследовать функцию. Мы уже знаем, что она убывает на  левая квадратная скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби ; бесконечность правая круглая скобка и знаем, что f левая круглая скобка 5 правая круглая скобка =0, поэтому других корней у нее нет. Она определена при всех x принадлежит левая квадратная скобка 1;7 правая квадратная скобка , непрерывна, асимптот не имеет. Осталось исследовать выпуклость.

f'' левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка минус 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из x минус 1 конец дроби правая круглая скобка '= левая круглая скобка минус 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус 1/2 правая круглая скобка правая круглая скобка '=
= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус 3/2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка '= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби умножить на левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус 3/2 правая круглая скобка умножить на 1= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби умножить на левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус 3/2 правая круглая скобка меньше 0,

поэтому функция выпукла вверх на всем промежутке. Так как f левая круглая скобка 7 правая круглая скобка = корень из 6 минус 7 плюс 3= корень из 6 минус 4, значит, функция принимает все значения из промежутка  левая квадратная скобка корень из 6 минус 4; дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка

г) Касательная пересекает ось в такой точке, где y=0, то есть  минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x плюс 3=0, x=6. Поскольку функция выпукла вверх, касательная лежит выше графика функции. Значит, область ограничена сверху касательной к графику функции, а снизу на промежутке  левая квадратная скобка 5;6 правая квадратная скобка осью абсцисс, а на промежутке  левая квадратная скобка 2;5 правая квадратная скобка  — графиком. Опустим на ось перпендикуляр из точки  левая круглая скобка 2;2 правая круглая скобка . Под касательной образуется прямоугольный треугольник с катетами 2 и 6 минус 2=4, поэтому его площадь равна  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 4 умножить на 2=4. Посчитаем теперь площадь под графиком функции и вычтем полученную площадь из площади треугольника.

S=4 минус принадлежит t от 2 до 5 левая круглая скобка корень из x минус 1 минус x плюс 3 правая круглая скобка dx= 4 минус принадлежит t от 2 до 5 левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 1/2 правая круглая скобка минус x плюс 3 правая круглая скобка dx= 4 минус левая круглая скобка дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 3/2 правая круглая скобка , знаменатель: 3/2 конец дроби минус дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби плюс 3x правая круглая скобка |_2 в степени 5 =
= 4 минус левая круглая скобка минус дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 3/2 правая круглая скобка плюс 3x правая круглая скобка |_2 в степени 5 = 4 минус левая круглая скобка минус дробь: числитель: 25, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 4 в степени левая круглая скобка 3/2 правая круглая скобка плюс 3 умножить на 5 плюс дробь: числитель: 4, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 1 в степени левая круглая скобка 3/2 правая круглая скобка минус 3 умножить на 2 правая круглая скобка =
= 4 минус левая круглая скобка минус целая часть: 12, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 8 плюс 15 плюс 2 минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби минус 6 правая круглая скобка = 4 минус левая круглая скобка дробь: числитель: 14, знаменатель: 3 конец дроби минус целая часть: 1, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 правая круглая скобка =4 минус целая часть: 4, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 3 плюс целая часть: 1, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 = целая часть: 1, дробная часть: числитель: 3, знаменатель: 6 минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби .

 

Ответ: а) y= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x плюс 3, б) 0 и  целая часть: 2, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 4 , в) см. рис., г)  дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби левая круглая скобка ед. в квадрате правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1707

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 1992 год, вариант 2
? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей , Иррациональные уравнения и их системы, Исследование функций, Касательная к графику функции, Построение графиков функций, графиков уравнений
?
Сложность: 9 из 10