Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1713

3Б. Дана функция  f левая круглая скобка x правая круглая скобка = корень из x плюс 1 плюс корень из 3 минус x.

а) Найдите промежутки монотонности функции  f левая круглая скобка x правая круглая скобка .

б) Изобразите на чертеже множество всех точек с координатами  левая круглая скобка x;y правая круглая скобка такими, что  левая круглая скобка y минус f левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка y минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 0.

в) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции  f левая круглая скобка x правая круглая скобка и прямой  y=2.

г) Случайным образом выбираются числа x и y из отрезка  левая квадратная скобка минус 1;3 правая квадратная скобка . Выясните, при каких значениях параметра a вероятность того, что выбираются числа, удовлетворяющие условию  левая круглая скобка y минус f левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка y минус a правая круглая скобка меньше или равно 0, равна 0,5.

Спрятать решение

Решение.

Искомая функция определена при x плюс 1 больше или равно 0 и 3 минус x больше или равно 0, то есть при x принадлежит левая квадратная скобка минус 1;\3 правая квадратная скобка .

а) Возьмем ее производную:

f' левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка корень из x плюс 1 плюс корень из 3 минус x правая круглая скобка '= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из x плюс 1 конец дроби левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка ' плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из 3 минус x конец дроби левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка '= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из x плюс 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из 3 минус x конец дроби умножить на левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =

 = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из x плюс 1 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из 3 минус x конец дроби = дробь: числитель: корень из 3 минус x минус корень из x плюс 1, знаменатель: 2 корень из x плюс 1 корень из 3 минус x конец дроби .

Знаменатель всегда положителен. Числитель же положителен в случае 3 минус x больше x плюс 1, то есть x меньше 1 и отрицателен при x больше 1. Значит, функция возрастает при x принадлежит левая квадратная скобка минус 1;1 правая квадратная скобка и убывает при x принадлежит левая квадратная скобка 1;3 правая квадратная скобка .

б) Из пункта а) следует, что f левая круглая скобка x правая круглая скобка больше или равно 2 при всех x принадлежит левая квадратная скобка минус 1;3 правая квадратная скобка , поскольку f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =f левая круглая скобка 3 правая круглая скобка =2. Поэтому неравенство  левая круглая скобка y минус f левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка y минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно условию y принадлежит левая квадратная скобка 2;f левая круглая скобка x правая круглая скобка правая квадратная скобка .

Осталось изобразить график функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка . Мы уже почти все нужно для построения графика узнали, осталось только вычислить значение в точке максимума f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка = корень из 2 плюс корень из 2=2 корень из 2 и исследовать выпуклость. Возьмем вторую производную:

f'' левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из x плюс 1 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из 3 минус x конец дроби правая круглая скобка '= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка '=
= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка ' минус левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка ' правая круглая скобка =

= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус 3/2 правая круглая скобка минус левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка меньше 0,

поэтому функция на всем промежутке выпукла вверх (см. рис.).

в) Поскольку график проходит выше прямой, получаем

S= принадлежит t_ минус 1 в кубе левая круглая скобка корень из x плюс 1 плюс корень из 3 минус x минус 2 правая круглая скобка dx= принадлежит t_ минус 1 в кубе левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка dx= левая круглая скобка дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби конец дроби плюс дробь: числитель: левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: минус 1 конец дроби минус 2x правая круглая скобка |_ минус 1 в кубе =

 = левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 2x правая круглая скобка |_ минус 1 в кубе = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 4 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 0 минус 2 умножить на 3 минус 0 плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 4 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 2 умножить на левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =

= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 8 минус 6 плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 8 минус 2= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 16 минус 8= дробь: числитель: 32, знаменатель: 3 конец дроби минус 8= дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби .

г) Условие  левая круглая скобка y минус f левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка y минус a правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно тому, что y лежит на отрезке между a и f левая круглая скобка x правая круглая скобка , но неизвестно, какой из концов меньший. Можно считать, что мы выбираем точку с координатами  левая круглая скобка x,y правая круглая скобка в квадрате  левая квадратная скобка минус 1;3 правая квадратная скобка \times левая квадратная скобка минус 1;3 правая квадратная скобка . Площадь этого квадрата 16, поэтому площадь фигуры, описываемой условием  левая круглая скобка y минус f левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка y минус a правая круглая скобка меньше или равно 0 должна быть равна 8.

Как мы уже знаем, при a=2 площадь получается  дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби . Если уменьшать a, то к площади будет добавляться прямоугольник с горизонтальной стороной 4. Нам надо добавить 8 минус дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 16, знаменатель: 3 конец дроби , значит, его вертикальная сторона должна быть  дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби и a=2 минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби . Если же увеличивать a, то нам будут подходить некоторые точки области y больше или равно 2 (см рисунок). Однако вся эта область - прямоугольник площади 4, поэтому его часть не может дать фигуру площади 8.

Ответ: a= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .

 

Ответ: а) на  левая квадратная скобка минус 1;1 правая квадратная скобка функция возрастает; на  левая квадратная скобка 1;3 правая квадратная скобка  — убывает; б) см. рис.; в)  дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби ; г)  a= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1718

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 1995 год, вариант 1
? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей , Исследование функций, Построение графиков функций, графиков уравнений, Функции, зависящие от параметра
?
Сложность: 9 из 10