3Б. Дана функция 
а) Напишите уравнения касательных к графику функции 
параллельных оси абсцисс.
б) Постройте график функции 
на отрезке 
в) Докажите, что 
г) Найдите наименьшее значение площади фигуры, ограниченной графиком функции и прямыми 
для 
Преобразуем функцию
а) Чтобы касательная была параллельна оси абсцисс, ее угловой коэффициент должен быть равен нулю, то есть производная в точке касания должна быть равна нулю. Возьмем производную
Решая уравнение 
получим 
или 
При этом 
и 
значит, уравнения касательных будут 
и 
б) Функция определена на всем отрезке за исключением точки 
При этом 
Исследуя производную методом интервалов, получим что 
при 
(при таких x функция возрастает) и 
при 
(при таких x функция убывает). Значит, 
это точка максимума, а —
Пользуясь этими данными построим график.
в) Вычислим интеграл
поскольку 
то 
и
Есть и другое решение. Как мы только что установили в пункте б, функция убывает на промежутке 
и возрастает на промежутке 
при этом 
Значит, на всем промежутке длины 
функция принимает значения не большие чем 
поэтому площадь под ее графиком не превосходит 
г) Поскольку при 
для всех точек отрезка 
выполнено условие 
то 
на всем этом промежутке. Тогда площадь можно записать в виде 
где 
—
Исследуем эту функцию. Возьмем ее производную
Первый множитель положителен при 
Второй же отрицателен при 
и положителен при 
значит, 
убывает при 
и возрастает при 
то есть ее наименьшее значение достигается при 
и было вычислено в предыдущем пункте. Окончательный ответ: 
Ответ: а) 
Задание парного варианта: 1806