Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1828

3Б. Дана функция  f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: x в квадрате плюс 2x плюс 2, знаменатель: x плюс 1 конец дроби .

а) Напишите уравнения касательных к графику функции  f левая круглая скобка x правая круглая скобка , параллельных оси абсцисс.

б) Постройте график функции  f левая круглая скобка x правая круглая скобка на отрезке  левая квадратная скобка минус 3;3 правая квадратная скобка .

в) Докажите, что  принадлежит t от минус 0,5 до 1 f левая круглая скобка x правая круглая скобка dx меньше дробь: числитель: 15, знаменатель: 4 конец дроби .

г) Найдите наименьшее значение площади фигуры, ограниченной графиком функции  f левая круглая скобка x правая круглая скобка и прямыми  y=0,  x=a,  x=a плюс 1,5, для  a больше минус 1.

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем функцию

 дробь: числитель: x в квадрате плюс 2x плюс 2, знаменатель: x плюс 1 конец дроби = дробь: числитель: x в квадрате плюс 2x плюс 1 плюс 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби = дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате плюс 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби =x плюс 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби .

а) Чтобы касательная была параллельна оси абсцисс, ее угловой коэффициент должен быть равен нулю, то есть производная в точке касания должна быть равна нулю. Возьмем производную

 левая круглая скобка x плюс 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби правая круглая скобка '=1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате конец дроби = дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате минус 1, знаменатель: левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате конец дроби = дробь: числитель: x в квадрате плюс 2x, знаменатель: левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате конец дроби = дробь: числитель: x левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате конец дроби .

Решая уравнение  дробь: числитель: x левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате конец дроби =0 получим x=0 или x= минус 2. При этом f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =2 и f левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка = минус 2, значит, уравнения касательных будут y=2 и y= минус 2.

б) Функция определена на всем отрезке за исключением точки x= минус 1. При этом \lim\limits_xarrow минус 1 плюс 0 f левая круглая скобка x правая круглая скобка = плюс бесконечность и \lim\limits_xarrow минус 1 минус 0 f левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус бесконечность .

Исследуя производную методом интервалов, получим что f' левая круглая скобка x правая круглая скобка больше 0 при x принадлежит левая квадратная скобка минус 3; минус 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; 3 правая квадратная скобка (при таких x функция возрастает) и f' левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше 0 при x принадлежит левая круглая скобка минус 2; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 1; 0 правая круглая скобка (при таких x функция убывает). Значит, x= минус 2 это точка максимума, а x=0 — точка минимума. При этом f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =2, f левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка = минус 2. Пользуясь этими данными построим график.

 

в) Вычислим интеграл

 принадлежит t\limits_ минус 0,5 в степени 1 левая круглая скобка x плюс 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби правая круглая скобка dx=\dvpod дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате плюс x плюс \ln левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 0,51=
= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс 1 плюс натуральный логарифм 2 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс 0,5 минус натуральный логарифм дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = целая часть: 1, дробная часть: числитель: 7, знаменатель: 8 плюс 2 натуральный логарифм 2= целая часть: 1, дробная часть: числитель: 7, знаменатель: 8 плюс натуральный логарифм 4 меньше дробь: числитель: 15, знаменатель: 4 конец дроби ,

поскольку e в кубе =2,7 в кубе =19,683 больше 16, то e в степени левая круглая скобка 3/2 правая круглая скобка больше 4, и

 натуральный логарифм 4 меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше дробь: числитель: 15, знаменатель: 8 конец дроби = дробь: числитель: 15, знаменатель: 4 конец дроби минус целая часть: 1, дробная часть: числитель: 7, знаменатель: 8 .

Есть и другое решение. Как мы только что установили в пункте б, функция убывает на промежутке  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 0 правая квадратная скобка и возрастает на промежутке  левая квадратная скобка 0; 1 правая квадратная скобка , при этом f левая круглая скобка минус 0,5 правая круглая скобка =f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка = дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби . Значит, на всем промежутке длины 1 минус левая круглая скобка минус 0,5 правая круглая скобка = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби функция принимает значения не большие чем  дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби , поэтому площадь под ее графиком не превосходит  дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 15, знаменатель: 4 конец дроби .

г) Поскольку при a больше минус 1 для всех точек отрезка  левая квадратная скобка a; a плюс 1,5 правая квадратная скобка выполнено условие x больше минус 1, то f левая круглая скобка x правая круглая скобка больше 0 на всем этом промежутке. Тогда площадь можно записать в виде F левая круглая скобка a плюс 1,5 правая круглая скобка минус F левая круглая скобка a правая круглая скобка , где F левая круглая скобка x правая круглая скобка  — первообразная функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка . Исследуем эту функцию. Возьмем ее производную

 левая круглая скобка F левая круглая скобка a плюс 1,5 правая круглая скобка минус F левая круглая скобка a правая круглая скобка правая круглая скобка '=f левая круглая скобка a плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус f левая круглая скобка a правая круглая скобка =a плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби плюс 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: a плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби плюс 1 конец дроби минус a минус 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: a плюс 1 конец дроби =

= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 2a плюс 5 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: a плюс 1 конец дроби = дробь: числитель: 3 левая круглая скобка 2a плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка плюс 4 левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка минус 2 левая круглая скобка 2a плюс 5 правая круглая скобка , знаменатель: 2 левая круглая скобка 2a плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка конец дроби =
= дробь: числитель: 3 левая круглая скобка 2a в квадрате плюс 5a плюс 2a плюс 5 правая круглая скобка плюс 4a плюс 4 минус 4a минус 10, знаменатель: 2 левая круглая скобка 2a плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 6a в квадрате плюс 21a плюс 9, знаменатель: 2 левая круглая скобка 2a плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка конец дроби =

= дробь: числитель: 3 левая круглая скобка 2a в квадрате плюс 7a плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: 2 левая круглая скобка 2a плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 3 левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: 2 левая круглая скобка 2a плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка конец дроби умножить на левая круглая скобка 2a плюс 1 правая круглая скобка .

Первый множитель положителен при a больше минус 1. Второй же отрицателен при a принадлежит левая круглая скобка минус 1; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка и положителен при a больше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , значит, F левая круглая скобка a плюс 1,5 правая круглая скобка минус F левая круглая скобка a правая круглая скобка убывает при a принадлежит левая круглая скобка минус 1; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка и возрастает при a\geqslant минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , то есть ее наименьшее значение достигается при a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби и было вычислено в предыдущем пункте. Окончательный ответ:  целая часть: 1, дробная часть: числитель: 7, знаменатель: 8 плюс натуральный логарифм 4.

 

Ответ: а)  y=2,  y= минус 2; б) см. рис.; г)  дробь: числитель: 15, знаменатель: 8 конец дроби плюс натуральный логарифм 4.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1806

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 1996 год, вариант 2
? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей , Касательная к графику функции, Построение графиков функций, графиков уравнений
?
Сложность: 9 из 10