а)  Урав­не­ние можно за­пи­сать в виде:

Ясно, что при таких x зна­ме­на­тель в из­на­чаль­ном урав­не­нии не равен нулю, по­это­му все такие x дей­стви­тель­но корни.

б)   Обо­зна­чим вре­мен­но тогда по­лу­чим не­ра­вен­ство ре­ше­ни­я­ми ко­то­ро­го будут и За­ме­тим, что на про­ме­жут­ке функ­ция убы­ва­ет и при­ни­ма­ет зна­че­ние в точке на про­ме­жут­ке функ­ция воз­рас­та­ет и при­ни­ма­ет зна­че­ние в точке зна­че­ние в точке на про­ме­жут­ке функ­ция убы­ва­ет и при­ни­ма­ет зна­че­ние в точке

От­сю­да по­лу­ча­ем ответ на не­ра­вен­ство

в)  Имеем:

г)  За­ме­тим, что

При функ­ция при­ни­ма­ет все зна­че­ния на от­рез­ке по­это­му при­ни­ма­ет все зна­че­ния на зна­чит, функ­ция при­ни­ма­ет все зна­че­ния на

На­ко­нец, при­ни­ма­ет все зна­че­ния на

Ответ: а) б) г)

а)  До­ка­жем, что Умно­жим на зна­ме­на­тель.

По­лу­ча­ем вер­ное ра­вен­ство. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Имеем:

По­лу­ча­ем два урав­не­ния. Пер­вое урав­не­ние:

Вто­рое урав­не­ние:

Из вто­ро­го на­бо­ра под­хо­дят все x, а из пер­во­го толь­ко те, для ко­то­рых (те, для ко­то­рых по­сто­рон­ние и по­яви­лись при воз­ве­де­нии в квад­рат). Итак, и при

Окон­ча­тель­но: и при

в)  Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство:

По­лу­ча­ем, что На про­ме­жут­ке функ­ция воз­рас­та­ет от −1 до 1, при этом и Ана­ло­гич­но на про­ме­жут­ке функ­ция убы­ва­ет от 1 до −1, при этом и От­сю­да по­лу­ча­ем ответ

г)  За­пи­шем урав­не­ние в виде и обо­зна­чим По­лу­чим урав­не­ние или У него не более двух кор­ней. За­ме­тим, что функ­ция при­ни­ма­ет на от­рез­ке все зна­че­ния от −1 до 0 (ис­клю­чая −1) по два раза, зна­че­ние −1 один раз, а дру­гих зна­че­ний не при­ни­ма­ет вовсе. Таким об­ра­зом, оба корня квад­рат­но­го урав­не­ния долж­ны ле­жать на про­ме­жут­ке За­пи­шем урав­не­ние в виде и по­стро­им гра­фик функ­ции Это па­ра­бо­ла с вер­ши­ной при и Кроме того, и Те­перь про­ве­дем го­ри­зон­таль­ную пря­мую и по­смот­рим, как она будет пе­ре­се­кать дан­ную па­ра­бо­лу.

Если то пря­мая пе­ре­се­чет левую ветвь при и пра­вую при Этот слу­чай не под­хо­дит.

Если то пря­мая пе­ре­се­чет левую ветвь при и пра­вую при Этот слу­чай не под­хо­дит.

Если то пря­мая пе­ре­се­чет левую ветвь при и пра­вую при Этот слу­чай не под­хо­дит.

Если то пря­мая пе­ре­се­чет левую ветвь при (на самом деле при но это не­важ­но) и пра­вую при Этот слу­чай под­хо­дит.

Если то пря­мая пе­ре­се­чет левую ветвь при и пра­вую при Этот слу­чай под­хо­дит.

Если же то пря­мая пе­ре­се­чет па­ра­бо­лу один раз или ни разу, по­это­му боль­ше двух кор­ней быть не может.

Итак, от­ку­да

Ответ: б) в) г)

Упро­стим ис­ход­ную функ­цию:

а)  Решим урав­не­ние:

б)  По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Вто­рой мно­жи­тель от­ри­ца­те­лен при всех x кроме для ко­то­рых он равен нулю и не­ра­вен­ство об­ра­ща­ет­ся в ра­вен­ство. Из этих точек на ука­зан­ном ин­тер­ва­ле лежит толь­ко За­пом­ним, что она под­хо­дит и по­де­лим не­ра­вен­ство на вто­рой мно­жи­тель. По­лу­чим что вы­пол­не­но при

Итак, окон­ча­тель­ный ответ

в)  Имеем:

г)  На ука­зан­ном от­рез­ке имеет корни Оста­лось вы­яс­нить, когда не­ко­то­рые из них по­сто­рон­ние из-за зна­ме­на­те­ля.

Если или то   — эти корни за­пре­ще­ны при

Если то   — этот ко­рень за­пре­щен при

Окон­ча­тель­но, при два корня, при один ко­рень, при про­чих a три корня.

Ответ: а) б) в) г) если и то 3 корня; если то 1 ко­рень; если то 2 корня.

Пре­об­ра­зу­ем функ­цию:

а)  Имеем:

б)  За­пи­шем урав­не­ние в виде и пре­об­ра­зу­ем его:

Раз­де­лим его на   — оно од­но­род­ное  — по­лу­чим

Обо­зна­чим по­лу­ча­ем

Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

в)  По­сле­до­ва­тель­но по­лу­чим:

г)  Имеем:

Если то оба мно­жи­те­ля по­ло­жи­тель­ны. Если уве­ли­чи­вать x, то оста­нет­ся по­ло­жи­тель­ным до точки а вто­рой мно­жи­тель будет по­ло­жи­тель­ным ми­ни­мум до той же точки (в пер­вой чет­вер­ти воз­рас­та­ет, а убы­ва­ет, по­это­му раз­ность воз­рас­та­ет. Во вто­рой чет­вер­ти синус по­ло­жи­те­лен, а ко­си­нус от­ри­ца­те­лен, по­это­му раз­ность по­ло­жи­тель­на).

Если же умень­шать x, то будет умень­шать­ся, а уве­ли­чи­вать­ся, пока на­ко­нец в точке они не срав­ня­ют­ся. После этой точки пер­вый мно­жи­тель все еще будет по­ло­жи­те­лен, а вто­рой от­ри­ца­те­лен и не­ра­вен­ство на­ру­шит­ся. Зна­чит, в сто­ро­ну умень­ше­ния x можно от­хо­дить не более чем на В сто­ро­ну уве­ли­че­ния на столь­ко отой­ти можно (и даже силь­но боль­ше, но это уже не­важ­но).

Тем самым (пер­вое усло­вие за­да­ет по­ло­жи­тель­ность a, ко­то­рая тоже тре­бу­ет­ся в за­да­че).

Ответ: а) 1; б) в) г)

а)  Так как надо ре­шить урав­не­ние Обо­зна­чим и, решая урав­не­ние по­лу­чим или Те­перь решим урав­не­ния и

б)  Най­дем корни чис­ли­те­ля и зна­ме­на­те­ля из от­рез­ка  — это числа На­не­сем их на ось и вос­поль­зу­ем­ся ме­то­дом ин­тер­ва­лов (см. рис.). По­лу­чим:

в)  До­ста­точ­но срав­нить числа и (оче­вид­но, что ). Но т. к. по­это­му

Зна­чит, тогда

г)  За­ме­тим, что По­это­му, оче­вид­но, что мно­же­ство зна­че­ний не­пре­рыв­ной функ­ции f на про­ме­жут­ке со­дер­жит все числа из луча Функ­ция f не­чет­ная как част­ное чет­ной и не­чет­ной функ­ции, а по­то­му мно­же­ство зна­че­ний функ­ции f  — все ве­ще­ствен­ные числа.

Ответ: а) б) в) г)