Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

1.  Дана функ­ция  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =2 ко­си­нус x ко­си­нус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

а)  Ре­ши­те урав­не­ние  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =0.

б)  Ре­ши­те не­ра­вен­ство  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 2 ко­си­нус x на ин­тер­ва­ле  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

в)  Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка .

г)  Вы­яс­ни­те, сколь­ко кор­ней имеет урав­не­ние  дробь: чис­ли­тель: f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: b плюс ко­си­нус x конец дроби =0 на от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка в за­ви­си­мо­сти от па­ра­мет­ра b.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Упро­стим ис­ход­ную функ­цию:

f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =2 ко­си­нус x ко­си­нус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус x умно­жить на 2 ко­си­нус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =

= ко­си­нус x умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 1 плюс ко­си­нус 2 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус x левая круг­лая скоб­ка 1 плюс ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка x минус Пи пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус x левая круг­лая скоб­ка 1 минус ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка .

а)  Решим урав­не­ние:

 ко­си­нус x левая круг­лая скоб­ка 1 минус ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус x=0, ко­си­нус x=1 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи k,x=2 Пи k, конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит Z .

б)  По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

 ко­си­нус x левая круг­лая скоб­ка 1 минус ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 2 ко­си­нус x рав­но­силь­но ко­си­нус x левая круг­лая скоб­ка 1 минус ко­си­нус x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но ко­си­нус x левая круг­лая скоб­ка минус ко­си­нус x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0.

Вто­рой мно­жи­тель от­ри­ца­те­лен при всех x кроме x= Пи плюс 2 Пи k, k при­над­ле­жит Z , для ко­то­рых он равен нулю и не­ра­вен­ство об­ра­ща­ет­ся в ра­вен­ство. Из этих точек на ука­зан­ном ин­тер­ва­ле лежит толь­ко x= Пи . За­пом­ним, что она под­хо­дит и по­де­лим не­ра­вен­ство на вто­рой мно­жи­тель. По­лу­чим  ко­си­нус x боль­ше или равно 0, что вы­пол­не­но при x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Итак, окон­ча­тель­ный ответ x при­над­ле­жит левая фи­гур­ная скоб­ка Пи пра­вая фи­гур­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

в)  Имеем:

f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус x минус ко­си­нус в квад­ра­те x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс ко­си­нус x минус ко­си­нус в квад­ра­те x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус ко­си­нус x плюс ко­си­нус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,

при­чем это зна­че­ние при­ни­ма­ет­ся при  ко­си­нус x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

г)  На ука­зан­ном от­рез­ке f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка имеет корни  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , 0. Оста­лось вы­яс­нить, когда не­ко­то­рые из них по­сто­рон­ние из-за зна­ме­на­те­ля.

Если x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби или x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , то  ко­си­нус x=0  — эти корни за­пре­ще­ны при b=0.

Если x=0, то  ко­си­нус x=1  — этот ко­рень за­пре­щен при b= минус 1.

Окон­ча­тель­но, при b= минус 1 два корня, при b=0 один ко­рень, при про­чих b три корня.

 

Ответ: а)  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи k;2 Пи k:k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б)  левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая фи­гур­ная скоб­ка Пи пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; в)  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; г) если  b не равно 0 и  b не равно минус 1, то 3 корня; если  b=0, то 1 ко­рень; если  b= минус 1, то 2 корня.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1793

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 1994 год, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ис­сле­до­ва­ние функ­ций, Три­го­но­мет­ри­че­ские не­ра­вен­ства, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния , Функ­ции, за­ви­ся­щие от па­ра­мет­ра
?
Сложность: 9 из 10