Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1727

1. Дана функция f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1 минус 2 синус x, знаменатель: 1 плюс 2 синус x конец дроби .

а) Решите уравнение: f левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .

б) Найдите все решения неравенства f левая круглая скобка x правая круглая скобка больше или равно 0 из отрезка  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

в) Докажите, что f левая круглая скобка x правая круглая скобка = тангенс левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби минус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка умножить на \ctg левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .

г) Найдите множество значений функции f на отрезке  левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

а) Уравнение можно записать в виде:

 дробь: числитель: 1 минус 2 синус x, знаменатель: 1 плюс 2 синус x конец дроби = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби равносильно 3 левая круглая скобка 1 минус 2 синус x правая круглая скобка = минус левая круглая скобка 1 плюс 2 синус x правая круглая скобка равносильно
 равносильно 3 минус 6 синус x= минус 1 минус 2 синус x равносильно 4=4 синус x равносильно синус x=1 равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k; k принадлежит Z .

Ясно что при таких x знаменатель в изначальном уравнении не равен нулю, поэтому все такие x действительно корни.

б)  Обозначим временно  синус x=t, тогда получим неравенство  дробь: числитель: 1 минус 2t, знаменатель: 1 плюс 2t конец дроби больше или равно 0, решениями которого будут t принадлежит левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка . Заметим, что на промежутке  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка функция  синус x возрастает и принимает значение  минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби в точке x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби , а значение значение  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби в точке x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби , на промежутке  левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка функция  синус x убывает и принимает значение  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби в точке x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби , значение  минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби в точке x= дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .

Отсюда получаем ответ на неравенство x принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: минус Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка .

в) Докажем, что f левая круглая скобка x правая круглая скобка = тангенс левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби минус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка умножить на \ctg левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .

 тангенс левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби минус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка умножить на \ctg левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби минус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби минус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка конец дроби =
= дробь: числитель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби минус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби минус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби минус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби минус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка конец дроби =
= дробь: числитель: синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка плюс синус левая круглая скобка минус x правая круглая скобка , знаменатель: синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка плюс синус x конец дроби = дробь: числитель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби минус синус x, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс синус x конец дроби = дробь: числитель: 1 минус 2 синус x, знаменатель: 1 плюс 2 синус x конец дроби =f левая круглая скобка x правая круглая скобка .

г)Заметим, что

f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1 минус 2 синус x, знаменатель: 1 плюс 2 синус x конец дроби = минус 1 плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 1 плюс 2 синус x конец дроби .

При x принадлежит левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка  синус x принимает все значения на отрезке  левая квадратная скобка 0;1 правая квадратная скобка , значит, 1 плюс 2 синус x принимает все значения на  левая квадратная скобка 1;3 правая квадратная скобка , значит,  дробь: числитель: 2, знаменатель: 1 плюс 2 синус x конец дроби принимает все значения на  левая квадратная скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ; 2 правая квадратная скобка и, наконец,  минус 1 плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 1 плюс 2 синус x конец дроби принимает все значения на  левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ;1 правая квадратная скобка .

 

Ответ: а)  левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,k принадлежит Z правая фигурная скобка , б)  левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка , г) левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ; 1 правая квадратная скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1705

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 1992 год, вариант 2
? Классификатор: Вычисления и преобразования в тригонометрии, Исследование функций, Тригонометрические неравенства, Тригонометрические уравнения
?
Сложность: 9 из 10