Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

1.  Дана функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1 минус 2 синус x, зна­ме­на­тель: 1 плюс 2 синус x конец дроби .

а)  Ре­ши­те урав­не­ние: f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

б)  Най­ди­те все ре­ше­ния не­ра­вен­ства f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 из от­рез­ка  левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

в)  До­ка­жи­те, что f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = тан­генс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на \ctg левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

г)  Най­ди­те мно­же­ство зна­че­ний функ­ции f на от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Урав­не­ние можно за­пи­сать в виде:

 дробь: чис­ли­тель: 1 минус 2 синус x, зна­ме­на­тель: 1 плюс 2 синус x конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби рав­но­силь­но 3 левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2 синус x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус левая круг­лая скоб­ка 1 плюс 2 синус x пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но 3 минус 6 синус x= минус 1 минус 2 синус x рав­но­силь­но 4=4 синус x рав­но­силь­но синус x=1 рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k;
k при­над­ле­жит Z .

Ясно что при таких x зна­ме­на­тель в из­на­чаль­ном урав­не­нии не равен нулю, по­это­му все такие x дей­стви­тель­но корни.

б)   Обо­зна­чим вре­мен­но  синус x=t, тогда по­лу­чим не­ра­вен­ство  дробь: чис­ли­тель: 1 минус 2t, зна­ме­на­тель: 1 плюс 2t конец дроби боль­ше или равно 0, ре­ше­ни­я­ми ко­то­ро­го будут t при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . За­ме­тим, что на про­ме­жут­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка функ­ция  синус x воз­рас­та­ет и при­ни­ма­ет зна­че­ние  минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби в точке x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , а зна­че­ние зна­че­ние  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби в точке x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , на про­ме­жут­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка функ­ция  синус x убы­ва­ет и при­ни­ма­ет зна­че­ние  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби в точке x= дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , зна­че­ние  минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби в точке x= дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

От­сю­да по­лу­ча­ем ответ на не­ра­вен­ство x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: минус Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

в)  До­ка­жем, что f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = тан­генс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на \ctg левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

 тан­генс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на \ctg левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби =
= дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби =
= дробь: чис­ли­тель: синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс синус левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс синус x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус синус x, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс синус x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1 минус 2 синус x, зна­ме­на­тель: 1 плюс 2 синус x конец дроби =f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка .

г)За­ме­тим, что

f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1 минус 2 синус x, зна­ме­на­тель: 1 плюс 2 синус x конец дроби = минус 1 плюс дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 1 плюс 2 синус x конец дроби .

При x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка  синус x при­ни­ма­ет все зна­че­ния на от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка 0;1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , зна­чит, 1 плюс 2 синус x при­ни­ма­ет все зна­че­ния на  левая квад­рат­ная скоб­ка 1;3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , зна­чит,  дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 1 плюс 2 синус x конец дроби при­ни­ма­ет все зна­че­ния на  левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и, на­ко­нец,  минус 1 плюс дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 1 плюс 2 синус x конец дроби при­ни­ма­ет все зна­че­ния на  левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ;1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

 

Ответ: а)  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка , б)  левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , г) левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1705

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 1992 год, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Вы­чис­ле­ния и пре­об­ра­зо­ва­ния в три­го­но­мет­рии, Ис­сле­до­ва­ние функ­ций, Три­го­но­мет­ри­че­ские не­ра­вен­ства, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
?
Сложность: 9 из 10