Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1825

1. Дана функция  f(x)= дробь: числитель: косинус 2x, знаменатель: косинус x конец дроби .

а) Решите уравнение  f(x)= минус 1.

б) Решите неравенство  f(x) больше или равно 0 на отрезке  левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка .

в) Сравните числа  f левая круглая скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 7 конец дроби правая круглая скобка и  минус 1.

г) Найдите множество значений функции  f(x).

Спрятать решение

Решение.

а) Запишем уравнение в виде  косинус 2x= минус косинус x при условии  косинус x не равно 0 и преобразуем его 2 косинус в квадрате x минус 1= минус косинус x. Обозначая временно  косинус x=t, получим

2t в квадрате плюс t минус 1=0 равносильно (t плюс 1)(2t минус 1)=0 равносильно совокупность выражений t= минус 1,t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .

Вернемся к замене переменной

 совокупность выражений косинус x= минус 1, косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= Пи плюс 2 Пи k,x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .

б) Очевидно  косинус x меньше 0 при x принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка , а при x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби знаменатель неравенства обнуляется. Таким образом, нужно решить неравенство  косинус 2x меньше 0 при x принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка . Заметим, что 2x принадлежит левая круглая скобка Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка и  косинус 2x меньше 0 при 2x принадлежит левая круглая скобка Пи ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка ,  косинус 2x больше 0 при 2x принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка и  косинус 2x=0 при 2x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби и 2x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби . Значит, x принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка \cup \left\ дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби \.

в) Преобразуем исходное число

f левая круглая скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 7 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: косинус дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 7 конец дроби , знаменатель: косинус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 7 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: косинус ( Пи минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 7 конец дроби ), знаменатель: косинус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 7 конец дроби конец дроби = минус дробь: числитель: косинус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 7 конец дроби , знаменатель: косинус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 7 конец дроби конец дроби .

Заметим, что 0 меньше косинус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 7 конец дроби меньше косинус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 7 конец дроби , поэтому

 дробь: числитель: косинус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 7 конец дроби , знаменатель: косинус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 7 конец дроби конец дроби меньше 1 и  минус дробь: числитель: косинус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 7 конец дроби , знаменатель: косинус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 7 конец дроби конец дроби больше минус 1,

следовательно,  f левая круглая скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 7 конец дроби правая круглая скобка больше минус 1.

г) Если обозначить t= косинус x, то

 дробь: числитель: косинус 2x, знаменатель: косинус x конец дроби = дробь: числитель: 2t в квадрате минус 1, знаменатель: t конец дроби =2t минус дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби .

Таким образом, достаточно будет найти область значений функции 2t минус дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби при t принадлежит [ минус 1; 1]. Более того, эта функция не определена при t=0 и нечетна. Найдем ее область значений при t принадлежит (0; 1]. Возьмем ее производную и учтем, что \lim\limits_tarrow плюс 0= минус принадлежит fty:

 левая круглая скобка 2t минус дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби правая круглая скобка '=2 минус (t в степени ( минус 1) )'=2 плюс t в степени ( минус 2) =2 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: t в квадрате конец дроби больше 0.

Значит эта функция возрастает. При этом для t=1 получаем 2t минус дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби =1, поэтому она принимает все значения из промежутка ( минус принадлежит fty; 1]. тогда при t принадлежит [ минус 1; 0) она принимает все значения из промежутка [ минус 1; плюс принадлежит fty) и область значений f(x) — все вещественные числа.

 

Ответ: а)  \left\ Пи плюс 2 Пи k; \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z \; б)  левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка \cup \left\ дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби \; в)  f левая круглая скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 7 конец дроби правая круглая скобка больше минус 1; г)  R .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1803

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 1996 год, вариант 2
? Классификатор: Вычисления и преобразования в тригонометрии, Исследование функций, Сравнение чисел, Тригонометрические неравенства, Тригонометрические уравнения
?
Сложность: 9 из 10