Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1825
i

1.  Дана функ­ция  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус 2x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус x конец дроби .

а)  Ре­ши­те урав­не­ние  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 1.

б)  Ре­ши­те не­ра­вен­ство  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 на от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

в)  Срав­ни­те числа  f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка и  минус 1.

г)  Най­ди­те мно­же­ство зна­че­ний функ­ции  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  За­пи­шем урав­не­ние в виде  ко­си­нус 2x= минус ко­си­нус x при усло­вии  ко­си­нус x не равно 0 и пре­об­ра­зу­ем его 2 ко­си­нус в квад­ра­те x минус 1= минус ко­си­нус x. Обо­зна­чая вре­мен­но  ко­си­нус x=t, по­лу­чим

2t в квад­ра­те плюс t минус 1=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t= минус 1,t= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

Вер­нем­ся к за­ме­не пе­ре­мен­ной

 со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус x= минус 1, ко­си­нус x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= Пи плюс 2 Пи k,x=\pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит Z .

б)  Оче­вид­но  ко­си­нус x мень­ше 0 при x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , а при x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби зна­ме­на­тель не­ра­вен­ства об­ну­ля­ет­ся. Таким об­ра­зом, нужно ре­шить не­ра­вен­ство  ко­си­нус 2x мень­ше 0 при x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . За­ме­тим, что 2x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка Пи ; дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и  ко­си­нус 2x мень­ше 0 при 2x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка Пи ; дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ,  ко­си­нус 2x боль­ше 0 при 2x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка и  ко­си­нус 2x=0 при 2x= дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби и 2x= дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Зна­чит, x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

в)  Пре­об­ра­зу­ем ис­ход­ное число

f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 4 Пи , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби , зна­ме­на­тель: ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка Пи минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби , зна­ме­на­тель: ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби конец дроби .

За­ме­тим, что 0 мень­ше ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби мень­ше ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби , по­это­му

 дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби , зна­ме­на­тель: ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби конец дроби мень­ше 1 и  минус дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби , зна­ме­на­тель: ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби конец дроби боль­ше минус 1,

сле­до­ва­тель­но,  f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше минус 1.

г)  Если обо­зна­чить t= ко­си­нус x, то

 дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус 2x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2t в квад­ра­те минус 1, зна­ме­на­тель: t конец дроби =2t минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: t конец дроби .

Таким об­ра­зом, до­ста­точ­но будет найти об­ласть зна­че­ний функ­ции 2t минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: t конец дроби при t при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1; 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Более того, эта функ­ция не опре­де­ле­на при t=0 и не­чет­на. Най­дем ее об­ласть зна­че­ний при t при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0; 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Возь­мем ее про­из­вод­ную и учтем, что \lim\limits_tarrow плюс 0= минус бес­ко­неч­ность :

 левая круг­лая скоб­ка 2t минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: t конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка '=2 минус левая круг­лая скоб­ка t в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка '=2 плюс t в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =2 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: t в квад­ра­те конец дроби боль­ше 0.

Зна­чит эта функ­ция воз­рас­та­ет. При этом для t=1 по­лу­ча­ем 2t минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: t конец дроби =1, по­это­му она при­ни­ма­ет все зна­че­ния из про­ме­жут­ка  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . тогда при t при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка она при­ни­ма­ет все зна­че­ния из про­ме­жут­ка  левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка и об­ласть зна­че­ний f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка   — все ве­ще­ствен­ные числа.

 

Ответ: а)  левая фи­гур­ная скоб­ка Пи плюс 2 Пи k; \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k:k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б)  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; в)  f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше минус 1; г)  R .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1803

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 1996 год, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Вы­чис­ле­ния и пре­об­ра­зо­ва­ния в три­го­но­мет­рии, Ис­сле­до­ва­ние функ­ций, Срав­не­ние чисел, Три­го­но­мет­ри­че­ские не­ра­вен­ства, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
?
Сложность: 9 из 10